Calcul de limite

Exercice 2512. Déterminer les limites suivantes :\\
  1. $\lim_{x\to 0^+}\Frac{x+\sin x}{x\ln x}$.\\
  2. $\lim_{x\to 0^+}\Frac{\ln x+x^2}{\ln(x+x^2)}$.\\
  3. $\lim_{x\to 1}\Frac{\ln x}{x^2-1}$.
Exercice 2513. Étudier la limite de \[ \left(\frac{1}{x}+\frac{\ln(2x)}{\ln(x)}\right)^{\ln(x)} \] lorsque $x \to +\infty$.
Exercice 2514. Déterminer la limite de $\Frac{\ch x + \cos x - 2}{x^4}$ lorsque $x$ tend vers $0$.
Exercice 2515. Calculer\\ \[ \lim_{x \to +\infty}\parenthese{\Frac{a^{1/x}+b^{1/x}+c^{1/x}}{3}}^{x}, \qquad a > 0,\; b > 0,\; c > 0. \]
Exercice 2516. Déterminer la limite lorsque $x$ tend vers $1$ de $\Frac{x^{x}-x}{\,1-x+\ln x\,}$.
Exercice 2517. Calculer la limite lorsque $x$ tend vers $0^+$ de \[ \frac{x^{\sh x}-(\sh x)^x}{(\sin x)^x-x^{\sin x}}. \]
Exercice 2518. Trouver $\displaystyle \lim_{x\to 0}y$ avec $y=\Frac{e^{\arcsin(x)}-e^{\sin(x)}}{e^{\arctan(x)}-e^{\tan(x)}}$
Exercice 2519. A l’aide d’un équivalent, déterminer les limites suivantes si elles existent :\\
  1. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}\ln\!\parenthese{1+\frac{1}{x}}$. \\
  2. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2}$. \\
  3. $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{\ln(3-x)}{2-x}$. \\
  4. $\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\parenthese{x-\frac{\pi}{2}}^2\tan(x)$.
Exercice 2520. Calculer : $\displaystyle \lim_{x\to e}\Frac{\ln(\ln(x))}{x^2-3ex+2e^2}$
Exercice 2521. Calculer : $\limz \left(e^{\sqrt{x^2+x^4}}-\sin(x)\right)^{\ln(x)}$.
Exercice 2522. Calculer : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^2e^{1/x}-\sqrt[3]{x^6+3x^5+x^4}$.
Exercice 2523. Calculer $\displaystyle \lim_{x\to 2}\left(\Frac{2^x+3^x}{2^{x+1}+5^{x/2}}\right)^{1/(2-x)}$.\\
Exercice 2524. Calculer $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\Frac{\ln(1+x)}{\ln x}\right)^{x\ln x}$.\\
Exercice 2525. Calculer $\displaystyle \lim_{x\to a}\Frac{x^a-a^x}{\arctan x-\arctan a}$ avec $a>0$.
Exercice 2526. Calculer $\displaystyle \lim_{x\to 0}\Frac{1}{\sin^2 x}-\Frac{1}{x^2}$.\\
Exercice 2527. Calculer $\displaystyle \lim_{x\to 0}\Frac{1}{x}-\Frac{1}{\ln(1+x)}$.
Exercice 2528. Calculer $\displaystyle \lim_{x\to 0}\Frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}$.