Probabilités

Exercice 4678. Une urne contient $8$ boules, à savoir $2$ rouges, $3$ vertes et $3$ noires. On tire au hasard $5$ boules.\\ $A$ : "Obtenir exactement une rouge".\\ Calculer, par $3$ méthodes, $\mathbb{P}(A)$.

Exercice 4679. Trois enfants, Aymeric, Benoît et Claudine jouent à la balle. C'est Claudine qui a la balle au début.\\ Si à l'instant $n\in \N$ Aymeric a la balle, il la garde à l'instant $n+1$.\\ Si à l'instant $n\in \N$ Benoît a la balle, à l'instant $n+1$, il la lance à Aymeric dans $7$ cas sur $8$ et il la lance à Claudine sinon.\\ Si à l'instant $n\in \N$ Claudine a la balle, à l'instant $n+1$, elle la lance à Benoît dans $3$ cas sur $10$ et elle la garde sinon.\\ On note \[ A_n,\; B_n,\; C_n \] les événements "Aymeric", "Benoît", "Claudine" a la balle à l'instant $n$, respectivement, et \[ a_n=\mathbb{P}(A_n),\quad b_n=\mathbb{P}(B_n),\quad c_n=\mathbb{P}(C_n). \]

1. Déterminer $a_0$, $b_0$ et $c_0$.\\
2. Exprimer $a_{n+1}$, $b_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $a_n$, $b_n$ et $c_n$, pour tout entier naturel $n$.\\
3. Montrer que $(c_n)$ vérifie une suite récurrente linéaire d'ordre 2 puis expliciter $c_n$.\\
4. En déduire $b_n$, puis $a_n$, pour tout entier naturel $n$.

Exercice 4680. On travaille dans un espace probabilisé.\\

1. $A$ et $B$ sont deux événements. Montrer que \[ \mathbb{P}(A\cap B)\geqslant \mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(\overline{B}). \]
2. Soient \[ n\in \N^* \quad \mathrm{et} \quad A_1,\dots,A_n \] des événements. Montrer que, pour tout \[ j\in [\![1,n]\!], \] \[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)\geqslant \mathbb{P}(A_j)-\Sum_{\substack{k=1\\k\neq j}}^{n}\mathbb{P}(\overline{A_k}). \]

Exercice 4681. Une urne $U_1$ contient une boule noire et $5$ boules blanches. Une autre urne $U_2$ contient $4$ boules noires et $2$ boules blanches. On effectue dans ces urnes une suite de tirages d'une boule de la façon suivante :\\ Le premier tirage se fait au hasard dans l'une ou l'autre des deux urnes.\\ Pour tout $n\in \N^*$ :\\ si le $n$-ième tirage donne une boule blanche, le $(n+1)$-ième tirage s'effectue dans la même urne que le $n$-ième tirage,\\ si le $n$-ième tirage donne une boule noire, on change d'urne pour effectuer le $(n+1)$-ième tirage,\\ chaque boule tirée est aussitôt remise dans l'urne d'où elle provient.\\ On note $p_n$ la probabilité d'effectuer le $n$-ième tirage dans l'urne $U_1$ et $q_n$ la probabilité de tirer une boule blanche au $n$-ième tirage.\\

1. 1. Calculer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ pour tout $n\in \N^*$.\\
   2. En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\in \N^*$.
2. Exprimer $q_n$ en fonction de $n$.

Exercice 4682. $(a,b)\in [0,1]^2$, avec $(a,b)\neq (0,1)$.\\ Un appareil est régi par les contraintes suivantes :\\ À l'instant $n=0$, on ignore s'il fonctionne.\\ S'il fonctionne à la date $n$, il a la probabilité $a$ d'être en panne à la date $n+1$. S'il est en panne à la date $n$, il a la probabilité $b$ de le rester à la date $n+1$.\\ Pour $n\in \N$, $F_n$ est l'événement : "l'appareil fonctionne à la date $n$" et \[ p_n=\mathbb{P}(F_n). \] Calculer, si elle existe, \[ \limn p_n. \]

Exercice 4683. Un joueur joue à un jeu d'argent contre le casino. On suppose qu'initialement la fortune du joueur est de $a\in \N$ et celle du casino de $N-a$ avec $0\leqslant a\leqslant N$ et $N\in \N$. Soit $p$ un réel tel que $0 < p < 1$ et $p\neq \Frac{1}{2}$. À chaque répétition du jeu, on suppose que le joueur gagne $1$ euro avec la probabilité $p$ ou perd $1$ euro avec la probabilité $q=1-p$. Si on note $x_n$ la fortune du joueur à l'issue du $n$-ième jeu, alors :\\ \[ x_0=a \] et \[ x_{n+1}= \begin{cases} x_n+1 \quad \mathrm{avec\ la\ probabilité}\ p\\ x_n-1 \quad \mathrm{avec\ la\ probabilité}\ q \end{cases} \] Le jeu s'arrête dès que $x_n$ prend la valeur $0$ ou la valeur $N$.\\

1. Soit $u_a$ la probabilité que le joueur soit ruiné, étant initialement parti d'une fortune $a$.\\
   1. Déterminer $u_0$ et $u_N$.\\
   2. Montrer que pour tout entier $a\in [\![1,N-1]\!]$, on a \[ u_a=pu_{a+1}+qu_{a-1}. \]
   3. Vérifier que pour tout entier $a\in [\![0,N]\!]$, \[ u_a=\Frac{\left(\Frac{q}{p}\right)^a-\left(\Frac{q}{p}\right)^N}{1-\left(\Frac{q}{p}\right)^N}. \] Déterminer la limite de $u_a$ lorsque $N\to +\infty$ et interpréter le résultat.
2. De même, calculer la probabilité $v_a$ que le casino soit ruiné, le joueur étant initialement parti d'une fortune $a$.\\
3. Calculer la somme $u_a+v_a$. En déduire la probabilité que le joueur et le casino s'affrontent indéfiniment.\\
4. Reprendre les calculs dans le cas \[ p=q=\Frac{1}{2}. \]

Exercice 4684. Soit \[ (\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P}) \] un espace probabilisé et \[ (T_n)_{n\in \N^*} \] une suite d'événements. Montrer que \[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty}T_n\right)\leqslant \Sum_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(T_n). \]

Exercice 4685. Soit \[ (\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P}) \] un espace probabilisé.\\ Montrer que, pour tout \[ n\in \N^* \] et pour toute famille \[ (A_1,\dots,A_n)\in \mathcal{T}^n, \] on a \[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)\geqslant \Sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)-(n-1). \]

Exercice 4686. Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$ un espace probabilisé et $(A,B)\in \mathcal{T}^2$.\\ Montrer que \[ \max\big(0,\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-1\big)\leqslant \mathbb{P}(A\cap B)\leqslant \min\big(\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)\big). \]

Exercice 4687. Soient $(a,b,c)\in (\N^*)^3$.\\ Une urne contient initialement $a$ boules blanches et $b$ boules noires. On effectue des tirages successifs d'une boule dans cette urne, en remettant à chaque fois la boule tirée et en ajoutant $c$ boules de la même couleur.\\

1. Pour $n\in \N^*$, calculer $p_n$, probabilité d'obtenir la première boule blanche au tirage $n$.\\
2. Pour $n\in \N^*$, on note $E_n$ l'événement "les $n$ premiers tirages donnent une boule noire" et $C$ l'événement "il n'apparaît que des noires". Calculer $\mathbb{P}(C)$.