Conditionnement et indépendance

Exercice 4688. On dispose de deux dés $A$ et $B$. Le dé $A$ a $4$ faces rouges et $2$ faces blanches. Le dé $B$ a $2$ faces rouges et $4$ faces blanches. On lance une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d'obtenir "pile" soit $\Frac{1}{3}$.\\ Si on obtient "pile", on décide de jouer uniquement avec le dé $A$.\\ Si on obtient "face", on décide de jouer uniquement avec le dé $B$.\\

1. Calculer la probabilité d'obtenir "rouge au premier coup", puis la probabilité d'obtenir "rouge au deuxième coup". Ces deux événements sont-ils indépendants ?\\
2. On a obtenu "rouge" aux $n$ premiers coups, avec $n\in \N^*$. Vaut-il mieux parier sur le fait que le dé est le dé $A$ ou d'avoir une face rouge au lancer suivant ?