Variables aléatoires

Exercice 4689. Pour $n\in \N^*$, on numérote les boules d'une urne $U_n$ par $1,\dots,n$. On tire une boule dans $U_n$, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au numéro obtenu. On crée ensuite une nouvelle urne $U_n'$ contenant les mêmes boules, plus une boule de numéro $0$. On tire une boule dans $U_n'$ et on note $Y_n$ la variable aléatoire égale au numéro obtenu. \\

1. Déterminer la loi de $X_n$ et celle de $Y_n$. \\
2. Calculer \[ \mathbb{E}(X_n),\quad \mathbb{V}(X_n),\quad \mathbb{E}(Y_n),\quad \mathbb{V}(Y_n). \]

Exercice 4690. Soit \[ n\in \N,\quad n\geqslant 2. \] Une urne contient les boules numérotées de $1$ à $n$.\\

1. On tire une boule au hasard. On note \[ X \] la variable aléatoire égale au numéro obtenu. Déterminer la loi de \[ X, \] puis calculer \[ \mathbb{E}(X^2) \quad \mathrm{et} \quad \mathbb{V}(X). \]
2. La boule tirée est écartée. On tire maintenant une nouvelle boule. On note \[ Y \] la variable aléatoire égale au numéro obtenu. Déterminer la loi de \[ Y, \] puis calculer \[ \mathbb{E}(Y) \quad \mathrm{et} \quad \mathbb{V}(Y). \]