Calcul différentiel

Exercice 5937. \\
  1. Donner deux exemples de normes dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Sont-elles équivalentes ?\\
  2. Pour $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on pose $T(M)=\mathrm{tr}(M^3)$. Démontrer que $T$ est différentiable et calculer sa différentielle.
Exercice 5938. Déterminer les extrema de $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par \[ f(x,y)=x^3-2x^2+xy^2-y^2. \]
Exercice 5939. Déterminer les extrema de $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par \[ f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y. \]
Exercice 5940. \\
  1. Où la fonction $\arcsin$ est-elle définie ? Où est-elle continue ? Où est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ ?\\
  2. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $\varphi:t\mapsto\arcsin\left(\Frac{2t}{1+t^2}\right)$. Cette fonction est-elle continue ? Tracer son graphe.\\
  3. Trouver les maxima de la fonction $\varphi$.\\
  4. Étudier la dérivabilité de $\varphi$.\\
  5. On pose $f(x,y)=\varphi(xy)$. Sur quel domaine la fonction $f$ est-elle définie ? continue ? de classe $\mathcal{C}^1$ ?\\
  6. Déterminer les maxima de $f$. Tracer le graphe de $f$.
Exercice 5941. Soit $f:[0,2]\times[-1,0]\to\mathbb{R}$ la fonction définie par \[ f(x,y)=x^2-2x+xy+y^2. \] Trouver les extremums globaux de $f$.
Exercice 5942. Justifier que $f : \C^* \to \C$ définie par $f(z) = \Frac{1}{z}$ est différentiable et calculer sa différentielle.
Exercice 5943. Soit $f : \R^2 \to \R$ de classe $\mathscr{C}^1$ vérifiant $\ptn$, $f(x,y) = f(y,x)$. Quelle relation existe-t-il entre les dérivées partielles de $f$ ?
Exercice 5944. Soient $f : (x,y) \mapsto f(x,y)$ de classe $\mathscr{C}^1$ et $g : (r,\theta) \mapsto f(r\cos\theta, r\sin\theta)$. Justifier que $g$ est $\mathscr{C}^1$ et exprimer les dérivées partielles de $f$ en fonction de celles de $g$.
Exercice 5945. Soit $f : \R^2 \to \R$ de classe $\mathscr{C}^1$. On définit $F(x) = \integrale{2x}{x^3}{f(x+1,t)}{t}$. Démontrer que $F$ est dérivable sur $\R$ et préciser $F'(x)$.
Exercice 5946. Soient $(x_1,\ldots,x_n,h_1,\ldots,h_n) \in \R^{2n}$, $f \in \mathscr{C}^1(\R^n,\R)$ et $g(t) = f(x_1+th_1,\ldots,x_n+th_n)$. Calculer $g'(t)$.
Exercice 5947. Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par \[ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2+y^2} & \mathrm{si}\ (x,y)\neq (0,0),\\ 0 & \mathrm{si}\ x=y=0. \end{cases} \]
  1. Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.\\
  2. La fonction $f$ admet-elle des dérivées partielles ? Si oui, les exprimer.\\
  3. Donner la dérivée directionnelle de $f$ selon $(1,1)$ en $(0,0)$.\\
  4. Démontrer de deux façons différentes que $f$ n'est pas de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$.
Exercice 5948. Déterminer les extrema de $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par \[ f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-6y. \]
Exercice 5949. Calculer le maximum de la fonction $f$ définie sur $[0,1]^2$ par \[ f(x,y)=\frac{x+y}{(1+x^2)(1+y^2)}. \]
Exercice 5950. Déterminer \[ \inf_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\integrale{0}{\pi}{\left(\sin x-(ax^2+bx)\right)^2}{x}, \] après avoir montré son existence.
Exercice 5951. Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. On pose \[ E=\left\{f\in C^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})\mid \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-4\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\alpha\right\}. \]
  1. Déterminer $E$ à l'aide du changement de variable $u=2x+y$ et $v=2x-y$.\\
  2. À quelle condition sur les réels $\lambda$ et $\mu$ la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par \[ f(x,y)=\lambda(\cos(2x)+\sin(2x))(\sin y+\cos y)+\mu\left(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}\right) \] appartient-elle à l'ensemble $E$ ?
Exercice 5952. Déterminer les extremums de $f : (x,y) \mapsto 3x^2+2xy+2y^2-x^4$ sur le disque unité fermé et les points en lesquels ils sont atteints.
Exercice 5953. Résoudre sur $\mathbb{R}^2$ l'équation \[ \frac{\partial f}{\partial x}-xy\frac{\partial f}{\partial y}=0 \] avec le changement de variable $(x,y)=(u,ve^{-u^2/2})$.
Exercice 5954. On note \[ D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid -1\leqslant x\leqslant y\leqslant 1\} \quad \mathrm{et} \quad \mathring D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid -1 < x < y < 1\}. \] Chercher les extrema de la fonction $f:(x,y)\mapsto (y-x)^3+6xy$ sur $\mathring D$ puis sur $D$.
Exercice 5955. On définit $f:[-2,2]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ par \[ f(x,y)=\Frac{x^2}{2}-\sqrt{4-x^2}\cos(y). \] Montrer que $f$ possède un maximum et un minimum puis déterminer leurs valeurs.
Exercice 5956. Déterminer les extrema locaux et globaux de \[ f(x,y)=xy\sqrt{1-x-y} \] sur \[ T=\{(x,y)\in(\mathbb{R}_+)^2\mid x+y\leqslant 1\}. \]
Exercice 5957. On considère la fonction de deux variables définie par \[ \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad f(x,y)=\Frac{\ch(2x)-\cos(2y)}{2}. \]
  1. Montrer que $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2$, $f(x,y)=\sh^2(x)+\sin^2(y)$ et en déduire le signe de $f$.\\
  2. Montrer que $0$ est le minimum de $f$ sur $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\leqslant 1\}$.\\
  3. Montrer que $D$ est une partie fermée et bornée de $\mathbb{R}^2$ et que $f$ admet un maximum sur $D$.\\
  4. Montrer que $D'=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2<1\}$ est un ouvert et déterminer les points critiques de $f$ sur $D'$.\\
  5. En déduire qu'il existe $t_0\in\mathbb{R}$ tel que $\forall (x,y)\in D$, $f(x,y)\leqslant f(\cos(t_0),\sin(t_0))$.\\
  6. Montrer que, pour tout réel $t$ positif, $\sin(t)\leqslant t$ et $\sh(t)\geqslant t$. En déduire que $g:t\mapsto f(\cos(t),\sin(t))$ est décroissante sur $\left[0,\Frac{\pi}{2}\right]$, puis déterminer le maximum de $f$ sur $D$.
Exercice 5958. Dans cet exercice, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $2$.\\
  1. Montrer que l'application $x\mapsto x^{n-1}$ est une bijection de $[0,1]$ dans $[0,1]$.\\
  2. On note $M$ la matrice $3\times 3$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$.\\ \startlettersnext
  3. a Montrer que $M$ est diagonalisable et déterminer le spectre de $M$.\\
  4. a En déduire le spectre de $M+I_3$.\\
  5. Soit $D=\{(x_1,x_2,x_3)\in]0,1[^3\mid x_1+x_2+x_3<1\}$.\\ \startlettersnext
  6. a Montrer que $D$ est un ouvert de $\mathbb{R}^3$.\\
  7. a Montrer que la fonction $f$ définie sur $D$ par \[ f(x_1,x_2,x_3)=x_1^n+x_2^n+x_3^n+(1-x_1-x_2-x_3)^n \] est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $D$ et calculer ses dérivées partielles.\\
  8. \startletters
  9. a Montrer que le seul point critique de $f$ est $a=\left(\Frac14,\Frac14,\Frac14\right)$.\\
  10. a Calculer la matrice hessienne de $f$ en $a$.\\
  11. a En déduire que $f$ admet un minimum local strict.
Exercice 5959. Soient $E$ et $F$ deux $\R$-espaces vectoriels de dimension finie et $\varphi : E \times E \to F$ une application bilinéaire. Établir que $\varphi$ est différentiable et calculer $\mathrm{d}\varphi$.
Exercice 5960. Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. \\
  1. En quels points l'application $x \mapsto \norm{x}$ est-elle différentiable ? \\
  2. Préciser en ces points le vecteur gradient.
Exercice 5961.
  1. Soit $f : \Mnr \to \Mnr$ définie par $f(M) = M^2$. Justifier que $f$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et déterminer $\mathrm{d}f(M)$ pour tout $M \in \Mnr$. \\
  2. Soit $f : \Mnr \to \R$ définie par $f(M) = \mathrm{tr}(M^3)$. Justifier que $f$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et calculer $\mathrm{d}f(M)$ pour tout $M \in \Mnr$.
Exercice 5962. Montrer que $A \mapsto \det A$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\Mnr$ et calculer sa différentielle en commençant par évaluer ses dérivées partielles.
Exercice 5963. Déterminer la différentielle en $I_n$ puis en $M \in GL_n(\R)$ de $M \mapsto M^{-1}$.
Exercice 5964. Montrer que l'application $$P \mapsto \integrale{0}{1}{P(t)^2}{t}$$ définie sur $E = \R_n[X]$ est différentiable et exprimer sa différentielle.
Exercice 5965. Soit $f : \R^2 \setminus \{(0,0)\} \to \R$ définie par $f(x,y) = (x^2 - y^2)\ln(x^2+y^2)$.
  1. Est-il possible de prolonger $f$ par continuité en $(0,0)$ ?
  2. Établir que $f$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\R^2 \setminus \{(0,0)\}$ et montrer, sans calcul, que $\Frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -\Frac{\partial f}{\partial y}(y,x)$.
  3. La fonction $f$ est-elle de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\R^2$ ?
Exercice 5966. Soit $f : \R^2 \to \R$ de classe $\mathscr{C}^1$, homogène de degré $\alpha \in \R$, c'est-à-dire vérifiant $\ptn > 0$, $\ptn (x,y) \in \R^2$, $f(tx,ty) = t^\alpha f(x,y)$.
  1. Montrer que $x\Frac{\partial f}{\partial x} + y\Frac{\partial f}{\partial y} = \alpha f$.
  2. Établir la réciproque.
Exercice 5967. Soit $f : \R^2 \to \R$ de classe $\mathscr{C}^1$ telle que $x\Frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y\Frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0$ pour tout $(x,y) \in \R^2$. Montrer que l'application $\varphi : r \mapsto \integrale{0}{2\pi}{f(r\cos t, r\sin t)}{t}$ est constante.
Exercice 5968. Soit $f : (x,y) \mapsto f(x,y)$ de classe $\mathscr{C}^2$ et $g(r,\theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$. Justifier que $g$ est $\mathscr{C}^2$ et exprimer $\Frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \Frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ en fonction des dérivées partielles de $g$.
Exercice 5969. Montrer que $f : \R^n \to \R$ de classe $\mathscr{C}^1$ est homogène de degré $p$ si et seulement si $\Sum_{i=1}^n x_i \Frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\ldots,x_n) = pf(x_1,\ldots,x_n)$.
Exercice 5970. Pour $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on pose \[ f(M)=(\mathrm{tr}(M),\mathrm{tr}(M^2),\ldots,\mathrm{tr}(M^n)). \]
  1. Déterminer la différentielle $df(M)$ de $f$ en $M$.\\
  2. Comparer le rang de $df(M)$ au degré du polynôme minimal $\pi_M$ de $M$.\\
  3. Démontrer que l'ensemble $\Omega$ des matrices $M$ telles que $\chi_M=\pi_M$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice 5971. Déterminer les solutions de classe $C^2$ de l'équation aux dérivées partielles \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+4\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)-3\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=0. \] On procédera à un changement de variable affine $(u=ax+by,\ v=cx+dy)$ permettant de se ramener à une équation aux dérivées partielles du type \[ \frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v}=0. \]
Exercice 5972. Déterminer sur $(\mathbb{R}_+^*)^2$ les extrema de la fonction $f(x,y)=x\ln(y)-y\ln(x)$.
Exercice 5973. \\
  1. Trouver les fonctions $f\in\mathcal{C}^1(]1,+\infty[\times]0,+\infty[,\mathbb{R})$ telles que \[ x(x-1)\frac{\partial f}{\partial x}+y(x-1)\frac{\partial f}{\partial y}-x^2f=0. \] Indication : effectuer le changement de variable $x=u$ et $y=uv$.\\
  2. Soit $a_1,\ldots,a_n$ des réels distincts, $f_i:x\mapsto \exp(a_i x)$ pour $1\leqslant i\leqslant n$. Montrer que $(f_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ est libre.\\
  3. Le sous-espace vectoriel des solutions obtenu dans la première question est-il de dimension finie ?
Exercice 5974. \\
  1. Justifier que $\det : \Mnr \to \R$ est de classe $\mathscr{C}^\infty$.
  2. Calculer $\mathrm{d}(\det)(I_n)$ puis $\mathrm{d}(\det)(M)$ pour $M \in GL_n(\R)$.
  3. En introduisant la comatrice de $M$, exprimer $\mathrm{d}(\det)(M)$ pour tout $M \in \Mnr$.
Exercice 5975. Soit $f : E \to F$ de classe $\mathscr{C}^1$ vérifiant $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ pour tout $\lambda \in \R$ et tout $x \in E$. Montrer que $f$ est linéaire.
Exercice 5976. Soient $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$.
  1. Montrer que $f : x \mapsto (u(x) \mid x)$ est différentiable sur $E$ et calculer $\mathrm{d}f(a)$.
  2. Montrer que $F : x \mapsto \Frac{(u(x) \mid x)}{(x \mid x)}$ est différentiable sur $E \setminus \{0\}$ et que : $$\mathrm{d}F(a) = 0 \iff a \text{ est vecteur propre de } u$$
Exercice 5977. Soient $f : \R \to \R$ de classe $\mathscr{C}^1$ et $F : \R^2 \setminus \{(0,0)\} \to \R$ définie par : $$F(x,y) = \Frac{f(x^2+y^2) - f(0)}{x^2+y^2}$$
  1. Déterminer $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} F(x,y)$. On prolonge $F$ par continuité en $(0,0)$ et on suppose désormais $f$ de classe $\mathscr{C}^2$.
  2. Justifier que $F$ est différentiable en $(0,0)$ et préciser $\mathrm{d}F(0,0)$.
  3. Montrer que $F$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\R^2$.
Exercice 5978. On pose $\varphi(x,y) = \Frac{\cos x - \cos y}{x - y}$ pour $x \neq y$.
  1. Montrer que $\varphi$ admet un prolongement par continuité à $\R^2$, noté encore $\varphi$.
  2. Montrer que $\varphi$ est $\mathscr{C}^1$ puis $\mathscr{C}^\infty$.
Exercice 5979. On pose $f(x,y) = xy\,\Frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$. La fonction $f$ admet-elle un prolongement continu en $(0,0)$ ? Un prolongement de classe $\mathscr{C}^1$ ? $\mathscr{C}^2$ ?
Exercice 5980.
  1. Par le changement de variable $t = y + u(x-y)$ dans $g(x) - g(y) = \integrale{y}{x}{g'(t)}{t}$ : $$f(x,y) = \integrale{0}{1}{g'(y + u(x-y))}{u}$$ Cette expression vaut également pour $x = y$. L'application $(x,y,u) \mapsto g'(y+u(x-y))$ est continue et admet des dérivées partielles continues en $x$ et $y$ (car $g$ est $\mathscr{C}^2$). Par le théorème de dérivation sous le signe intégrale : $$\Frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \integrale{0}{1}{u\,g''(y+u(x-y))}{u}$$ Cette expression est continue en $(x,y)$, et de même pour $\Frac{\partial f}{\partial y}$. Donc $f$ est de classe $\mathscr{C}^1$.
  2. En posant $x = y$ : $$\Frac{\partial f}{\partial x}(x,x) = \integrale{0}{1}{u\,g''(x)}{u} = \Frac{g''(x)}{2}$$
Exercice 5981. Déterminer les fonctions $f : \Rpe \to \R$ de classe $\mathscr{C}^2$ telles que $F : (x_1,\ldots,x_n) \mapsto f\!\parenthese{\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}}$ vérifie $\Sum_{i=1}^n \Frac{\partial^2 F}{\partial x_i^2} = 0$ sur $\R^n \setminus \{0\}$.
Exercice 5982. Soit $f \in \mathscr{C}^2(\R^2, \R)$ vérifiant $\Frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \Frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ et $g(r,t) = f(r\cos t, r\sin t)$.
  1. Trouver une relation liant $\Frac{\partial}{\partial r}\!\parenthese{r\Frac{\partial g}{\partial r}}$ et $\Frac{\partial^2 g}{\partial t^2}$.
  2. Montrer que $\varphi : r \mapsto \integrale{0}{2\pi}{f(r\cos t, r\sin t)}{t}$ est $\mathscr{C}^2$ sur $\R$ et que $(r\varphi'(r))' = 0$.
  3. Conclure que $\varphi$ est constante.