Equations et factorisations

Exercice 7895. Résoudre les équations : \\
  • $x^2-x-6 = 0 $ \\
  • $x^2+x+1 = 0 $ \\
  • $-x^2+6x-9 = 0 $ \\
  • $2x^2+x-4=0$
Exercice 7898. Soit $f(x) = x^2+3x+2$. \\
  1. Vérifier que $-1$ est solution de l'équation $f(x)=0$ \\
  2. Quelle est la somme et le produit des racines ? \\
  3. En déduire l'autre solution.
Exercice 7899. Soit $f(x) = x^2-5x+6$. \\
  1. Vérifier que 2 est solution de l'équation $f(x)=0$ \\
  2. Quelle est la somme et le produit des racines ? \\
  3. En déduire l'autre solution.
Exercice 7927. Résoudre dans $\R$ l'équation : $2x^2+\sqrt{2}x-1=0$
Exercice 7894. Résoudre dans $\R$ chacune des équations suivantes : \\
  • $2x^2-2x-3=0$ \\
  • $2x^5x = 0 $ \\
  • $3x + 3x^2 = -1$\\
  • $ -2(x-1)^2-3 = 0 $ \\
  • $(x+2)(3-2x) = 0$
Exercice 7897. Factoriser les trinômes suivants : \\
  • $f(x) = x^2-7x+10 $ \\
  • $f(x) = 2x^2 -5x+2 $ \\
  • $f(x) = -3x^2 + 4x+4 $ \\
  • $f(x) = -\Frac{1}{2}x^2 - \Frac{1}{2}x + 1$
Exercice 7900. Résoudre dans $\R$ les équations suivantes : \\
  • $x^2+2\sqrt{2}x-3 = 0 $ \\
  • $-x^2+x+1 = 3x -7 $ \\
  • $(x-2)(-3x^2+19x-6) = 0 $ \\
  • $x^2-(1+\sqrt{2})x+\sqrt{2} = 0$
Exercice 7901. Soit $c \in \R$ et $f(x) = -x^2+4x+c$. Déterminer $c$ tel que $-2$ soit racine de $f$. \\ Quelle est alors l'autre racine de $f$ ?
Exercice 8493. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
  1. $4x^2 + 7x - 2 = 0$
  2. $2x^2 - 3x - 6 = 0$
  3. $(2x+3)^2 = 4x^2 - 6x + 9$
  4. $x^2 - 3 = 4x^2 + 0{,}5x + 1$
  5. $6x^2 + 18x + 42 = -x^2 - 5x + 3$
Exercice 8494. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en posant $X = x^2$ et en résolvant d'abord en $X$ :
  1. $x^4 + x^2 - 12 = 0$
  2. $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Exercice 8534. Factoriser chacun des polynômes suivants :
  1. $P(x) = x^3 - 1$
  2. $Q(x) = 9x^4 - 36$
  3. $R(x) = x^4 - x^3 - 9x^2 + 9x$
  4. $S(x) = x^3 + 3x^2 - 81x + 77$
  5. $T(x) = (x^2+8x+16)(x^2-10x+25)$
  6. $U(x) = x^3 - 9x^2 + 2x + 48$
  7. $V(x) = x^2 - 6x + 9 + x^2(x-3)$
  8. $W(x) = (x-2)(x+4) - (2x+7)(2x-4)$
Exercice 7896. Pour quelle valeur de $m$ l'équation $x^2-4x+m-1=0$ admet-elle une racine double ? Calculer cette racine. Est-ce surprenant ?
Exercice 7928. Factoriser le trinôme $f : x \mapsto 2x^2-(2\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}$.
Exercice 8538.
  1. Déterminer un polynôme $P$ de degré $2$ tel que $P(3) = 14$ et $P(1) = P\!\left(\dfrac{2}{3}\right) = 0$.
  2. Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels distincts.
    1. Déterminer un polynôme $P$ de degré $2$ tel que $P(a) = b$ et $P(b) = P(c) = 0$.
    2. Existe-t-il un polynôme $P$ de degré $2$ tel que $P(a) = 1$, $P(b) = 1$ et $P(c) = 1$ ?
Exercice 8539. Soit $m$ un réel et $(E_m)$ l'équation d'inconnue $x$ : \[ (E_m) : \quad 2x^2 + (3m+1)x - m(m-1) = 0 \]
  1. Exprimer $\Delta_m$, le discriminant de $(E_m)$, en fonction de $m$.
  2. Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $(E_m)$ admet-elle au moins une solution ?
  3. Exprimer $P_m$, le produit des solutions de $(E_m)$, en fonction de $m$.
  4. Existe-t-il des valeurs de $m$ pour lesquelles $-2$ est solution de $(E_m)$ ? Si oui, résoudre chacune des équations obtenues.
Exercice 7902. $m$ est un réel donné et $m \neq 1$. On considère l'équation \[(E_m) \; : \; (m-1)x^2 - 2x+1-m = 0\] Démontrer que pour tout réel $m \neq 1$, l'équation $E_m$ possède deux solutions distinctes $x_1$ et $x_2$ de signes contraires.