Signes des trinômes, inéquations

Exercice 17. Déterminer le signe du trinôme $p : x \mapsto 2x^2+x+3$.
Exercice 18. Dresser les tableaux de signes des polynômes suivants, connaissant leurs racines : \\
  • $P(x) = 2x^2-8x+6 \quad $ Racines : 1 et 3. \\
  • $Q(x) = -3x^2 -11x+4\quad $ Racines : $\Frac{1}{3}$ et $-4$. \\
  • $R(x) = x^2-10x+28 \quad$ Pas de racines. \\
  • $S(x) = -2x^2 - 8x - 11 \quad$ Pas de racines.
Exercice 19. Dresser les tableaux de signes des polynômes suivants : \\
  • $A(x) = x^2-9 $ \\
  • $B(x) = -2x^2-8x $ \\
  • $C(x) = (5-x)^2 $ \\
  • $D(x) = 16-25x^2 $ \\
  • $E(x) = x^2+1 $ \\
  • $F(x) = 3x-2x^2-1 $ \\
  • $G(x) = 2x-x^2-1 $ \\
  • $H(x) = -3x^2$
Exercice 20. Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f : x \mapsto \sqrt{x^2+x-6}$ ?
Exercice 21. Résoudre les inéquations suivantes : \\
  • $x^2-3x+2 > 0 $ \\
  • $ x^2+4 \geqslant 0 $ \\
  • $m^2+m-20 \leqslant 0 $\\
  • $x^2-x+1 < 0 $ \\
  • $3x^2+18x+27 > 0$ \\
  • $-x^2-9 \geqslant 0 \quad$ g) $x(x-2) < 0 $ \\
  • $x^2+7x+12 \geqslant 0 $\\
  • $-2x^2-x+4 > 0 \quad $ \\
  • $2x^2-24x+72 \leqslant 0$
Exercice 22. Soit $m \in \R$ et $f$ la fonction trinôme définie par \[f(x) = x^2-(m+1)x+4\]
  1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle une seule solution ? Calculer alors cette racine. \\
  2. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ l'équation $f(x) = 0$ n'a-t-elle aucune solution ?
Exercice 23. Soit $a \in \R\backslash \{2\}$. Résoudre le système : \\ \[ \left\{ \begin{aligned} x+y &= a+1 \\ xy &= a \end{aligned} \right. \]
Exercice 24. Soit $m \in \R$ et $f$ la fonction trinôme définie par \[f(x) = mx^2+4x+2(m-1)\]
  1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle une seule solution ? Calculer alors cette racine. \\
  2. Quel est l'ensemble des réels $m$ pour lesquels l'équation $f(x) = 0$ a deux racines distinctes ? \\
  3. Quel est l'ensemble des réels $m$ pour lesquels $f(x) < 0$ pour tout réel $x$ ?
Exercice 25. Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes : \\
  • $ \Frac{1}{x} > \Frac{x}{x+2} $ \\
  • $ \Frac{x}{x+1} \leqslant \Frac{3}{(x+1)(x-2)} $ \\
  • $\Frac{x}{(x-2)^2} \geqslant 1+ \Frac{3}{x-2} $ \\
  • $ \Frac{2}{x+3} < -x$