Exercices divers

Exercice 26. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $a+b=-16$ et $ab=63$.
Exercice 27. Soit $a= 2-\sqrt{3}$ et $b=2+\sqrt{3}$. Calculer $a+b$ et $ab$ et en déduire une fonction polynôme du second degré dont les racines sont $a$ et $b$.
Exercice 28. Soit $f(x) = -x^2+3x+2$ \\
  1. Résoudre l'équation $f(x) = 4$ \\
  2. Résoudre l'équation $f(x) = 2$ \\
  3. A l'aide d'un graphique, trouver l'ensemble des valeurs de $x$ telles que $2 \leqslant f(x) \leqslant 4$.
Exercice 29. \\
  1. Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2+x-6=0$ \\
  2. En déduire la résolution de : \\
    1. $X^4+X^2-6 = 0$. \\
    2. $\Frac{1}{x^2} + \Frac{1}{x} - 6 = 0$.
Exercice 30. Soit $f(x) = x^3-4x+3$ une fonction polynôme de degré 3. \\
  1. Calculer $f(1)$. \\
  2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = (x-1)(x^2+ax+b)$. \\
  3. En déduire toutes les racines de $f$.
Exercice 31. Déterminer deux nombres réels non nuls tels que $\Frac{1}{x} + \Frac{1}{y} = \Frac{5}{2}$ et $xy = - \Frac{2}{3}$.
Exercice 32. Soit $m \in \R$ et $f(x) = (m-1)x^2 + 2mx + 1-3m$. \\
  1. Déterminer l'ensemble $D$ des valeurs de $m$ pour lesquelles $f$ est une fonction polynôme du second degré. \\
  2. Montrer que, pour tout réel $m$, 1 est racine de $f$. \\
  3. Soit $m \in D$, déterminer les racines de $f$.
Exercice 33. Soit $a$, $b$ et $c$ des réels tels que $a \neq 0$ et $f(x) = ax^2+bx+c$. On suppose que $f$ admet deux racines réelles non nulles $r$ et $s$. \\ Exprimer, en fonction de $a$, $b$ et $c$ les nombres $r+s$, $rs$, $\Frac{1}{r} + \Frac{1}{s}$ et $r^2 + s^2$.
Exercice 34. \\
  1. Soient $a,b,c \in \R$. Montrer que l’équation $(x+a)(x+b)-c^2=0$ admet au moins une solution réelle. \\
  2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $a,b,c$ pour que cette équation admette une unique solution.
Exercice 35. Dans cet exercice, $f(x)$ désigne le trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant : \\
  1. Si pour tout réel $x$, $f(x) < 0$, alors $\Delta < 0$. \\
  2. S'il existe deux réels $p$ et $q$ tels que $f(p) f(q) < 0$, alors $\Delta < 0$. \\
  3. Si $\Delta < 0$, alors pour tout réel $x$, $f(x) < 0$. \\
  4. Si $\Delta > 0$, et si $p$ et $q$ sont deux réels tels que $x' < p < x'' < q$ ($x'$ et $x''$ étant les racines du polynôme), alors $f(p) f(q) < 0$.
Exercice 36. On considère la fonction $f(x) = 2x^4-9x^3+14x^2-9x+2$. \\
    1. Le nombre 0 est-il racine de $f$? \\
    2. Soit $r \in \R$. Montrer que si $r$ est une racine de $f$ alors $\Frac{1}{r}$ est également une racine de $f$. \\
    1. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ est équivalente à l'équation \[ (E) : 2\parenthese{x^2+ \Frac{1}{x^2} } - 9 \parenthese{x+ \Frac{1}{x}} + 14 = 0 \]
    2. On pose $u = x + \Frac{1}{x}$. Déduire de la question précédente que $(E)$ est équivalente à \[ (E') : 2u^9u+10=0 \]
    3. Résoudre $(E')$ et en déduire les solutions de $(E)$.
Exercice 37. \\
  1. Calculer $(3-\sqrt{2})^2$. \\
  2. En déduire les solutions de l’équation $x^2+(1+\sqrt{2})x+2(\sqrt{2}-1)=0$. \\
  3. Soit $n \geqslant 2$. Résoudre $x^2+(n+\sqrt{n}-1)x+n(\sqrt{n}-1)=0$.
Exercice 38. \\
  1. Soient $p,q \in \R^*$. Déterminer les valeurs de $p$ et $q$ pour lesquelles l’équation $x^2+px+q=0$ admet pour solutions les réels $p$ et $q$.