Généralités

Exercice 8271. Pour chacune des suites suivantes définie pour tout entier naturel $n$, calculer les cinq premiers termes :
  • $u_n = \Frac{n-2}{n+1}$ \\
  • $u_n = \sqrt{2n+1}$ \\
  • $u_n = \frac{1}{3}n+\frac{1}{2}$
Exercice 8272. $u_n$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = n^2 + 1\]
  1. Calculer les 4 premiers termes.
  2. Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement ces 4 premiers termes.
  3. Pour quelle valeur de $n$ a-t-on $u_n = 50$ ?
Exercice 8273. Calculer les $4$ premiers termes des suites définies de la façon suivante :
  1. Pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, $u_n = n^2+2n$.
  2. Pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, $v_n = 100 \times 1,02^n$.
Exercice 8276. $(k_n)$ est la suite définie par $k_0 = -5$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $k_{n+1} = 5k_n - 7$.
  • Calculer $k_1$.
  • Calculer $k_3$.
Exercice 8278. Calculer les $4$ premiers termes des suites définies de la façon suivante : \\
  1. $w_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, $w_{n+1} = 3w_n-4$. \\
  2. $x_0 = 3$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, $x_{n+1} = -x_n^2+x_n+1$.
Exercice 8277. $(k_n)$ est la suite définie par $k_0 = 2$ et pour tout nombre $n$ de $\mathbb{N}$, \[ k_{n+1} = \frac{1}{1+k_n} \] Calculer $k_1$, $k_2$, $k_3$.
Exercice 8274. On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par \[ u_n = 2 + \frac{3}{n+1} \]
  1. Quel est le $15^{\mathrm{ème}}$ terme de cette suite ?
  2. Calculer le terme de rang $1\,000$.
Exercice 8275. Dans chacun des cas suivants, déterminer à partir de quel rang la suite $(u_n)$ est définie et calculer les $3$ premiers termes de la suite. \\
  • $u_n = -n^2+n+1$
  • $u_n = \frac{1}{n-3}$
  • $u_n = \sqrt{n^2-4}$
Exercice 8279. On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = -2$ et $u_{n+1} = 2u_n+3$.
  1. Calculer le terme de rang $2$. \\
  2. On donne $u_{10} = 1\,021$. Calculer le terme suivant. \\
  3. On donne $u_8 = 253$. Calculer le terme précédent. \\
  4. On donne $u_n = 8\,189$. Calculer $u_{n+2}$.
Exercice 8280. Soit la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1 \]
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{-1}$. \\
  2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
Exercice 8281. Pour les suites suivantes, calculer les termes de $u_1$ à $u_4$ :
  • $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n+1}$. \\
  • $u_0 = -1$ et $u_{n+1} = (u_n+1)^2$. \\
  • $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n-1}{u_n}$.
Exercice 8283. La suite $(c_n)$ est définie par $c_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, $c_{n+1} = 2c_n+n-3$. \\ Exprimer $c_{n+2}$ en fonction de $c_{n+1}$ puis $c_{n+2}$ en fonction de $c_n$.
Exercice 8284. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ par $u_n = n^2-n+1$.
  1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
  2. Montrer que pour tout $n \geqslant 0$, on a $u_n > 0$.
Exercice 8285. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par \[ u_n = \frac{n}{n+1} \]
  1. Calculer les $3$ premiers termes de cette suite.
  2. Soit $n \in \mathbb{N}$, exprimer $u_n+1$, $u_{n+1}$, $u_n-1$ et $u_{n-1}$ en fonction de $n$.
Exercice 8310. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + 2n + 3$. \\
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$. \\
  2. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$. \\
  3. Démontrer la conjecture.
Exercice 8282. Pour les suites suivantes, calculer les termes de $u_1$ à $u_4$ puis conjecturer une formule explicite du terme général. Retrouver alors $u_0$ avec la formule conjecturée puis démontrer la relation donnée entre $u_{n+1}$ et $u_n$. \\
  • $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n$. \\
  • $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n+5$. \\
  • $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 1-\frac{1}{1+u_n}$.
Exercice 8312. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{1+u_n}$. \\
  1. Calculer les premiers termes. \\
  2. On pose $v_n = \frac{1}{u_n}$. \\ Montrer que $(v_n)$ est arithmétique. \\
  3. En déduire $u_n$.