Suites arithmétiques, géométriques

Exercice 8288. $(w_n)$ est la suite arithmétique de raison $-2$ telle que $w_0 = 1$.
  1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ explicitement en fonction de $n$.
  2. En déduire $w_{100}$.
Exercice 8289. $(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_1 = -5$ de raison $3$. \\ Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire $u_{20}$.
Exercice 8295. $(v_n)$ est la suite géométrique de raison $4$ telle que $v_0 = 5$. \\ Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire $v_{20}$.
Exercice 8296. $(v_n)$ est la suite géométrique de raison $2$ telle que $v_1 = 7$. \\ Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire $v_{10}$.
Exercice 8290. Pour les exercices suivants, préciser si la suite est arithmétique ou non :
  • $u_n = 2n+3$ \\
  • $u_{n+1} = \frac{3n+1}{2}$ \\
  • $u_n = n^2-n$ \\
  • $\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = 2+u_n \end{cases}$
Exercice 8294. $(u_n)$ est la suite arithmétique de raison $6$ telle que $u_0 = 7$. \\ $(v_n)$ est la suite définie pour tout nombre $n$ de $\mathbb{N}$ par $v_n = 5u_n-1$. \\ Démontrer que $(v_n)$ est arithmétique.
Exercice 8297. $(t_n)$ est la suite géométrique de raison $3$ telle que $t_2 = -2,5$. \\ Exprimer $t_n$ en fonction de $n$ puis en déduire $t_6$.
Exercice 8298. Pour les exercices suivants, préciser si la suite est géométrique ou non : \\
  • $u_n = 5^{n+3}$ \\
  • $u_n = \frac{2n+3}{3}$ \\
  • $u_n = 3^n+3n$ \\
  • $u_0 = -1$ et $5u_{n+1}-2u_n = 1$
Exercice 8544. Dans chacun des cas ci-dessous, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique de raison $r$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k$.
  1. Sachant que $u_0 = \dfrac{3}{2}$ et $r = \dfrac{7}{6}$, calculer $u_{10}$ et $u_{20}$.
  2. Sachant que $u_0 = 2$ et $u_1 = 5$, calculer $u_2$ et $u_5$.
  3. Sachant que $u_5 = 7$ et $u_{10} = -3$, calculer $u_0$ et $u_1$.
  4. Sachant que $u_{15} = 3$ et $u_{80} = \dfrac{139}{3}$, calculer $u_0$ et $S_{80}$.
  5. Sachant que $u_0 = -7$, déterminer $r$ ainsi que l'entier naturel $p$ tels que $u_p = 83$ et $S_{p-1} = 2691$.
Exercice 8545. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k$.
  1. Sachant que $q = \dfrac{1}{3}$ et $u_0 = 7$, calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  2. Sachant que $u_0 = 12$ et $u_2 = 3$, calculer $u_1$ et $u_5$.
  3. Sachant que $u_0 = -\dfrac{3}{8}$, déterminer $q$ ainsi que l'entier naturel $p$ tels que $u_p = -48$ et $S_p = -\dfrac{765}{8}$.
Exercice 8546. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r$. On pose $v_n = \mathrm{e}^{u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique et préciser sa raison.
Exercice 8291. $(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout naturel $n$, \[ u_{n+1} = \frac{u_n}{1+u_n} \]
  1. Calculer les cinq premiers termes. \\
  2. On pose $v_n = \Frac{1}{u_n}$. Calculer les $3$ premiers termes. \\
  3. Prouver que la suite $(v_n)$ est arithmétique. Exprimer alors $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 8292. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ u_{n+1} = \frac{u_n}{1+2u_n} \] On définit la suite $(v_n)$ à partir de $(u_n)$ par $v_n = \frac{1}{u_n}+1$. \\
  1. Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique. Préciser son premier terme et sa raison. \\
  2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 8299. Pour les exercices suivants, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$. \\
  1. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_0 = 4$ et $q = 5$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \\
  2. $u_4 = 8$ et $q = 2$. Calculer $u_2$ et $u_6$. \\
  3. $u_5 = 10$ et $q = -\frac{1}{2}$. Calculer $u_0$ et $u_{10}$. \\
  4. $u_5 = 64$, $u_7 = 256$, $q > 0$. Calculer $q$ puis $u_{10}$.
Exercice 8301. $(u_n)$ est une suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n+5$. \\
  1. Calculer les $5$ premiers termes. \\
  2. Pour tout naturel $n$, on pose $v_n = u_n+5$. \\
  3. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Exprimer alors $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 8311. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n + 1$. \\
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$. \\
  2. On pose $v_n = u_n + \frac{1}{2}$. \\ Montrer que $(v_n)$ est géométrique. \\
  3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 8313. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 4$. \\
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$. \\
  2. On pose $v_n = u_n - 8$. \\ Montrer que $(v_n)$ est géométrique. \\
  3. En déduire $u_n$.
Exercice 8547. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = \dfrac{3}{5}u_n + 2$.
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
  2. Soit $a$ un réel. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n = u_n + a$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Déterminer la valeur de $a$ pour que $(v_n)$ soit géométrique. Donner alors ses éléments caractéristiques.
  3. Dans la suite de l'exercice, on pose $v_n = u_n - 5$. Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
  4. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  5. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  6. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ et $T_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n$. Quelle est l'expression de $T_n$ en fonction de $n$ ?
  7. Déterminer la limite de la suite $(T_n)$.
  8. Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$ et la limite de la suite $(S_n)$.
Exercice 8293. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = -1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ u_{n+1} = \frac{4u_n}{4-u_n} \] On définit la suite $(v_n)$ par la relation $v_n = \frac{3u_n+2}{u_n}$. \\
  1. Montrer que $(v_n)$ est arithmétique. \\
  2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 8300. Pour les exercices suivants, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$. \\
  1. Pour tout naturel $n$, on a $u_{n+2} = u_{n+1}+u_n$. \\ Tous les termes sont non nuls et sa raison $q$ est positive. Trouver $q$.\\
  2. $(u_n)$ est une suite géométrique croissante dont les termes sont négatifs. Son premier terme est $u_1$. \\
    1. Que peut-on dire de sa raison ? \\
    2. On sait que $u_1 \times u_3 = \frac{4}{9}$ et $u_1+u_2+u_3 = -\frac{19}{9}$. \\ Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. \\
    3. Calculer $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 8302. Soit $(u_n)$ la suite définie par les deux premiers termes $u_0 = 1$ et $u_1 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = 1,5u_{n+1}-0,5u_n$. \\
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_{n+1}-u_n$ est géométrique. \\
    2. Exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$. \\
  • Calculer en fonction de $n$ la somme $S_n = 0,5 + (0,5)^2 + (0,5)^3 + \hdots + (0,5)^n$. \\
  • Exprimer alors $u_n$ en fonction de $n$.
    • Exercice 8316. On considère la suite définie sur $\mathbb{N}$ par \[ U_{n+1} = \frac{9}{6-U_n}, \quad U_0 = 1 \]
    1. Montrer que $(U_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. \\
    2. On admet que pour tout entier $n$, $U_n \neq 3$ et on pose $V_n = \frac{1}{U_n-3}$. \\ Montrer que $(V_n)$ est arithmétique de raison $-\frac{1}{3}$. \\
    3. Conjecturer la limite éventuelle de $(U_n)$.
    Exercice 8317. On considère la suite définie sur $\mathbb{N}$ par \[ U_{n+1} = \frac{3U_n}{1+2U_n}, \quad U_0 = \frac{1}{2} \]
    1. Montrer que $(U_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. \\
    2. On admet que pour tout entier $n$, $U_n \neq 1$ et on pose $V_n = \frac{U_n}{1-U_n}$. \\ Montrer que $(V_n)$ est géométrique de raison $3$. \\
    3. En déduire l'expression explicite de $V_n$ puis de $U_n$. \\
    4. Conjecturer la limite éventuelle de $(U_n)$.
    Exercice 8318. On considère la suite $(U_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $U_{n+1} = 3-\frac{10}{U_n+4}$ et $U_0 = 5$. \\
    1. Déterminer la valeur exacte de $U_1$ et $U_2$. \\
    2. En déduire que $(U_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique. \\
    3. On admet que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $U_n \geqslant 1$. \\ On considère la suite $(V_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = \frac{U_n-1}{U_n+2}$. \\ Justifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $U_n \neq -2$, c'est-à-dire que $(V_n)$ est bien définie. \\
    4. Démontrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme. \\
    5. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $V_n \neq 1$. \\
    6. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = \frac{2V_n+1}{1-V_n}$.