Calculs algébrique

Exercice 8499. Réduire les expressions suivantes : \[ A = 2\sqrt{500} - 3\sqrt{75} \quad B = \sqrt{27} + 2\sqrt{75} - \sqrt{108} \quad C = 2\sqrt{32} + 3\sqrt{18} - 3\sqrt{50} \] \[ D = \sqrt{27} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{12} \quad E = -\sqrt{245} + 2\sqrt{45} + 5\sqrt{20} \quad F = \sqrt{27} + 2\sqrt{75} - \sqrt{12} \] \[ G = \sqrt{45} + 2\sqrt{125} - \sqrt{80} \quad H = \sqrt{150} + \sqrt{96} - 4\sqrt{24} \quad I = 3\sqrt{27} + 4\sqrt{300} - 5\sqrt{3} \] \[ J = \sqrt{80} - 2\sqrt{320} - 5\sqrt{45} + \sqrt{180} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{125} \]
Exercice 8502. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
  1. $3x^2 - 1 = 0$
  2. $0{,}04x^2 = 1$
  3. $7x^2 = \dfrac{1}{15}$
  4. $(x+1)^2 + (x-1)^2 = 6$
Exercice 8485. Simplifier le produit suivant, sachant que les points de suspension indiquent que le processus se poursuit jusqu'au dernier terme : \[ p = \left(1 - \frac{1}{2}\right) \times \left(1 - \frac{1}{3}\right) \times \left(1 - \frac{1}{4}\right) \times \cdots \times \left(1 - \frac{1}{2020}\right) \]
Exercice 8487. Dans chacun des cas, déterminer la valeur de $n$ telle que :
  1. $\left(\dfrac{4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5}{3^5 + 3^5 + 3^5}\right)\left(\dfrac{6^5 + 6^5 + 6^5 + 6^5 + 6^5 + 6^5}{2^5 + 2^5}\right) = 2^n$
  2. $3^{2001} + 3^{2002} + 3^{2003} = n \cdot 3^{2001}$
  3. $(10^{2002} + 25)^2 - (10^{2002} - 25)^2 = 10^n$
Exercice 8489. Si $x + \dfrac{1}{x} = 6$, déterminer $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$.
Exercice 8500. Rationaliser chacune des expressions suivantes (supprimer tout radical au dénominateur) : \[ A = \frac{5}{\sqrt{6}-1} \quad F = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \quad I = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \quad J = \frac{2+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} \] \[ K = \frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \quad L = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \quad M = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}} \quad N = \frac{1+\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}} \]
Exercice 8501. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en se ramenant à des équations produits :
  1. $(3x+1)(5x-3) = 0$
  2. $(3-x)(4-x)(10-x) = 0$
  3. $\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = 4\left(x - \dfrac{1}{3}\right)^2$
  4. $-x(5-x) + 3(x-5)^2 = x^2 - 25$
  5. $x(x+1)(x+2) = (x+1)(x+2)(x+3)$
  6. $2x(x^2+2) = x^2(x^2+2)$
Exercice 8533. Déterminer la forme développée et réduite de chacun des polynômes suivants :
  1. $P(x) = (x+1)^3$
  2. $Q(x) = (x^2+2)^2 - 3$
  3. $R(x) = (x-3)(6x^2+x+1) - (3x^2-1)(2x+1)$
  4. $S(x) = (x^3-7x+1)(x^5-x^2+2)$
Exercice 8535. Simplifier l'écriture des nombres suivants (écrire sous la forme d'une seule fraction, sans radical au dénominateur) : \[ A = \frac{\dfrac{1}{3}+3}{\dfrac{1}{6}+6} \quad B = 3 \times \frac{2+\dfrac{1}{2}}{2-\dfrac{1}{2}} \quad C = 2 \times \frac{\dfrac{7}{2}+1}{\dfrac{3}{4}-5} \cdot \left(-\dfrac{5}{3}\right) \] \[ D = \left(\sqrt{12}-\sqrt{3}\right)^2 \quad E = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} - 1\right)^2 \quad F = \frac{\left(1-\sqrt{3}\right)^2}{2-\sqrt{3}} \] \[ G = \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \quad H = 3 - \frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \quad I = \frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+5}{\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}} \quad J = \frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{2}+1} \]
Exercice 8536. Simplifier l'écriture des expressions algébriques suivantes (écrire sous la forme d'une seule fraction, sans radical au dénominateur) : \[ D(x) = 3 + \frac{6}{x+2} \quad E(x) = 2 - \frac{3}{x^2} \quad F(x) = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \quad G(x) = \frac{7}{x^2+3} - 1 \] \[ H(x) = -2 - \frac{3x-1}{x-2} \quad I(x) = \frac{\dfrac{3x}{2}-5}{\dfrac{x}{3}+3} \quad J(x) = \frac{2x-1}{2x^2-1} - 3 \quad K(x) = 2x-1+\frac{3x}{2x-1} \] \[ L(x) = -x+2-\frac{1}{3} \times \frac{2x}{x+2} \quad M(x) = \frac{3}{\sqrt{x}-1} - \frac{2}{\sqrt{x}+1} \]
Exercice 8486. On pose $B(n) = \dfrac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3}$.
  1. Calculer $B(n)$ pour $n = 0$ et $n = 1$.
  2. Montrer que $B(n)$ ne dépend pas de $n$.
Exercice 8488. Sans calculer les facteurs, prouver que : \[ (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) = 2^{32} - 1 \]
Exercice 8490.
  1. Soient $x$ et $y$ des réels avec $2x + 3y = 3$ et $xy = -4$. Déterminer $4x^2 + 9y^2$.
  2. Soient $x$ et $y$ des réels avec $x - y = 3$ et $xy = 4$. Déterminer $x^2 + y^2$.
  3. Soient $a$ et $b$ des réels avec $a + b = 13$ et $ab = 41$. Calculer $a^3 + b^3$.
  4. Soient $x$ et $y$ des réels avec $x + y = 4$ et $xy = -3$. Déterminer $x^2 + y^2$ puis $x^4 + y^4$.
Exercice 8491. Soient $a$ et $b$ des réels tels que $\dfrac{a}{1+b} + \dfrac{b}{1+a} = 1$.\\ Démontrer que $a^3 + b^3 = a + b$.
Exercice 8497. Donner sous forme décimale : \[ A = \frac{10^4 \times 7^{-1}}{2^7 \times 7^{-3} \times 5^7} \quad B = \left(\frac{3^{-9} \times \left(10^{-3}\right)^{-2}}{2^{-1} \times 10^5 \times 3^{-10}}\right)^2 \quad C = \frac{2{,}5^5 \times 3^{-2} \times 4^5 \times 18^3}{5^8 \times 3^{-4} \times 9^3 \times 2^8} \]
Exercice 8498.
  1. Simplifier $A = \sqrt{(3 - \pi)^2}$.
  2. Soit $B = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ et $C = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$. Prouver que $B = C$.
  3. Soit $D = \sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$ et $E = \sqrt{3} - \sqrt{7}$. A-t-on $D = E$ ?
  4. Soit $F = \sqrt{3 - \sqrt{8}} - \sqrt{3 + \sqrt{8}}$. Prouver que $F$ est un entier.
Exercice 8504. Écrire les ensembles suivants comme un intervalle ou une réunion d'intervalles :
  1. $\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 2x - 35 < 0\}$
  2. $\left\{x \in \mathbb{R} \mid \dfrac{x+7}{x-5} \geq 0\right\}$
  3. $\left\{x \in \mathbb{R} \mid \dfrac{x+7}{x-5} \leq -2\right\}$
  4. $\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - x - 6 \leq 0\} \cap \left\{x \in \mathbb{R} \mid \dfrac{1-x}{x+3} \geq 1\right\}$
Exercice 8505. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
  1. $(3x+1)(-2x+5) \leq 0$
  2. $\dfrac{3x-8}{2x+3} \leq 0$
  3. $(x-2)(3x+5)(3-7x) < 0$
  4. $\dfrac{7x-2}{4x^2-1} \leq 0$
  5. $\dfrac{4x^3-9x}{x^2-16} \geq 0$
  6. $(3x+2)^2 - (x-1)^2 \leq 0$
  7. $(5x+1)^2 + 9 \leq 0$
  8. $(3x^2+1)(9-2x) > 0$
  9. $\dfrac{x^2+2x-3}{x^2+3x+2} > 0$
Exercice 8506. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
  1. $(2x-1)^2 \leq 3$
  2. $(x+3)^2 \geq 5(x+3)(x-2)$
  3. $(x-1)^2(x-2) < (x^2-1)(2-x)$
  4. $\dfrac{x-1}{x+1} > 2$
  5. $\dfrac{3x-2}{5-3x} \geq 1$
  6. $\dfrac{2x+1}{x+2} \geq x$
  7. $\dfrac{5x+3}{3x+5} \leq \dfrac{3x+5}{5x+3}$
Exercice 8507. Soit $n \in \mathbb{N}$. Résoudre dans $\mathbb{R} \setminus \{n\}$ l'inéquation : \[ \frac{1}{x-n} \geq x-n \]
Exercice 8516. Factoriser au mieux les expressions suivantes : \[ A = 9ab - 6a^2 + 12ab^2 \quad B = a^3b^2c - a^2bc + a^5b^3c^2 \quad C = 16(a-b) - x^4(a-b) \] \[ D = 25(x^2-y^2) + a^2(y^2-x^2) \quad E = 5ax - 5ay - bx + by \quad F = 4a^2(3-x) - (4a-1)(3-x) \] \[ G = (25a^2 + 1 - 10a) - 9a^2 \quad H = (x-y)^n - 4x(x-y)^{n-1} + y(x-y)^{n-2} \]
Exercice 8503. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : \[ \sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{x-2} + \sqrt{x^2 + 2x - 3} \]
Exercice 8508. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
  1. $\sqrt{x^2-4x+3} \geq -x+2$
  2. $\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x} > \dfrac{1}{2}$
  3. $\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x-5} \geq \sqrt{5-2x}$
Exercice 8517. La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle connaissant ses trois côtés. Si les longueurs des côtés sont $a$, $b$, $c$, en appelant $p$ le demi-périmètre et $S$ l'aire du triangle, on a : \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Pour la démonstration, on considère un triangle $ABC$, de hauteur $AH$, tel que $\widehat{BAC}$ soit un angle aigu. On appelle $a$, $b$, $c$ les longueurs respectives des côtés $BC$, $AC$ et $AB$, $h_a$ la hauteur $AH$, et $x$ la longueur $HC$.
  1. Exprimer $S$ en fonction de $a$ et $h_a$.
  2. Exprimer $p$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
  3. Exprimer $c^2$ en fonction de $a$, $b$ et $x$.
    1. En déduire l'expression de $x$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
    2. En déduire l'expression de $h_a^2$ en fonction de $a$, $b$ et $c$. Prouver que : \[ h_a^2 = \left(b - \frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)\left(b + \frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right) \] puis que $h_a^2 = \dfrac{1}{4a^2}\left(2ab - a^2 - b^2 + c^2\right)\left(2ab + a^2 + b^2 - c^2\right)$.
    3. Factoriser $2ab - a^2 - b^2 + c^2$.
    4. Factoriser $2ab + a^2 + b^2 - c^2$.
  5. En déduire la formule de Héron.