Exercices divers

Exercice 9309. $f$ et $g$ sont les fonctions définies sur $\R \backslash \{2\}$ par \[ f(x) = \Frac{1}{x-2} \text{ et } g(x) = \Frac{4x-7}{x-2} \]
  1. Pour tout nombre réel $x \neq 2$, déterminer $f'(x)$ et $g'(x)$. Que remarque-t-on ?
  2. Pour tout nombre réel $x \neq 2$, déterminer $f(x)-g(x)$. \\ Retrouver alors la propriété remarquée en 1.
Exercice 9310. temp
Exercice 9311. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = ax^2 +2x+b\] où $a$ et $b$ sont deux réels. \\ Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ telles que la courbe représentative $\Cf$ admette au point $A(1,-1)$ une tangente $\Delta$ de coefficient directeur -4.
Exercice 9312. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2-4x+5$.\\ En quels points de $\Cf$ peut-on mener une tangente passant par l'origine du repère ?
Exercice 9317. Une voiture effectue des essais de freinage sur un circuit. Entre l'instant $t=0$, début du freinage et l'instant $t=5$ où elle s'arrête, la distance parcourue, en m est donnée par \[ d(t) = -4t^2+40t \] où $t$ est exprimé en seconde.
  1. A l'écran de la calculatrice, afficher la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0,5]$.
  2. Calculer la vitesse instantannée aux instants $t=0$, $t=2$, $t=4$ et $t=5$.
    1. Sur l'écran précédent, afficher la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0. Interpréter sa pente.
    2. Quelle distance aurait parcourue cette voiture pendant la durée de $5$ s si elle n'avait pas freiné ? \\ Où peut-on lire cette distance sur le graphique ?
Exercice 9313. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels. \\ La parabole $\mathcal{P}$ représentant $f$ passe par les points $A(0,1)$ et $B(4,1)$. \\ De plus, l'équation de la tangente à $\mathcal{P}$ au point $B$ admet pour équation $y=4x-15$. \\ Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ pour en déduire l'expression de $f(x)$.
Exercice 9314. Soient $\Cf$ la courbe représentant la fonction définie par \[f(x) = x^2-4x+3\] et $\Cg$ la courbe représentant la fonction définie par \[g(x) = -x^2+2x-3\] Démontrer que $\Cf$ et $\Cg$ ont deux tangentes communes.
Exercice 9315. Un coureur court en ligne droite. La distance parcourue, en m par ce coureur à l'instant $t$, en seconde, est donnée par \[ d(t) = 10t-\Frac{1}{20}t^2 \]
  1. Peut-on affirmer que la vitesse du coureur diminue proportionnellement au temps de course ?
    1. Calculer l'instant $t_1$ auquel la vitesse du coureur s'annule.
    2. Quelle est alors la distance parcourue par le coureur ?
    1. Déterminer la vitesse moyenne du coureur pendant cette course ?
    2. Vérifier que cette vitesse moyenne est égale à la vitesse du coureur à l'instant $\Frac{t_1}{2}$.
Exercice 9316. Dans une entreprise, le coût total de fabrication d'un produit, en euro, est exprimé par \[ C(x) = x^3-100x^2+3\,000x+200\] où $x$ désigne la quantité de produits fabriqués, en tonne comprise entre 0 et 60. \\ Le prix de vente d'une tonne du produit est de 600\euro{}.
  1. Déterminer le coût marginal de fabrication, que l'on assimile à la dérivée du coût total.
  2. La production de l'entreprise doit être telle que le coût marginal de fabrication soit inférieur au prix de vente. En déduire les quantités, en tonne, que peut produire l'entreprise.
Exercice 9321. Soit la fonction $f$ : $x \mapsto \abs{x-1}\sqrt{x}$ définie sur $\R^+$.
  1. Etudier la dérivabilité de $f$ en $x=1$.
  2. Représenter dans un repère la fonction $g$ : $x \mapsto \abs{x-1}$.
  3. Pour $x \in \R^+$, étudier les positions relatives des courbes $\Cf$ et $\Cg$.
Exercice 9254. Soit $f(x) = \Frac{e^x}{\sqrt{x}}$. \\
  1. Sur quel ensemble est défini la fonction $f$ ? sur quel ensemble est-elle dérivable ? \\
  2. Calculer $f'(x)$. \\
  3. Soit $g(x) = \Frac{e^{x^2+x+1}}{\sqrt{x^2+x+1}}$ et $h(x) = x^2+x+1$. \\
    1. Quel est l'ensemble de définition de $g$ ? \\
    2. Exprimer $g(x)$ en fonction de $f(x)$ et $h(x)$. \\
    3. Montrer que $g'(x) = \Frac{(2x+1)(2x^2+2x+1)e^{x^2+x+1}}{2(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x+1}}$.
Exercice 9327. Dans un repère orthonormal du plan, on désigne par $\mathcal{P}$ la représentation graphique de la fonction carrée $f$ : $x \mapsto x^2$.
  1. Soit $M$ un point de $\mathcal{P}$ d'abscisse $a \in \R^+$. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ en $M$ à la courbe $\mathcal{P}$.
  2. En déduire l'ordonnée du point d'intersection $T$ de la droite $(T)$ avec la droite $(Oy)$ des ordonnées du repères.
  3. On désigne par $(N)$ la normale à $\mathcal{P}$ en $M$, c'est-à-dire la droite perpendiculaire en $M$ à la droite $(T)$. \\ Déterminer une équation de la droite $(N)$.\\ On rappelle que deux droites non parallèles à la droite des ordonnées, de coefficients directeurs $m$ et $m'$, sont perpendiculaires en un point si et seulement si $m \times m' = -1$. \\
  4. En déduire l'ordonnée du point d'intersection $N$ de la droite $(N)$ avec la droite $(Oy)$ des ordonnées du repère.
  5. Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(Oy)$. Montrer que la distance $HN$ est constante.
  6. Démontrer que le milieu du segment $[TH]$ est fixe.
Exercice 9328.
  1. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $x_0$ un élément de $I$ tel que $f'(x_0) \neq 0$. \\ Exprimer l'abscisse $x_1$ du point en lequel la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $x_0$ coupe l'axe des abscisses $(Ox)$.
  2. On suppose que $a$ est un nombre réel positif, que $f$ est la fonction définie par \[ \forall x \in \R, \: f(x) = x^2-a \] Avec les notations précédentes, vérifier que \[ x_1 = \Frac{1}{2}\parenthese{x_0+\Frac{a}{x_0}} \]
Exercice 9329. Soient $a$ un réel non nul, $f$ la fonction \[ x \in \R \mapsto ax^2 \] Si $p$ et $q$ sont deux nombres réels, on note $\Delta_{p,q}$ la droite d'équation $y=px+q$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p$ et $q$ pour que $\Delta_{p,q}$ soit tangente au graphe de $f$.
Exercice 9330. Dans un repère orthonormal du plan, on désigne par $\mathcal{H}$ la représentation graphique de la fonction inverse $f$ : $x \mapsto \Frac{1}{x}$, définie sur $\R^*$.
  1. Soit $A$ un point de $\mathcal{H}$ d'abscisse $a \in \R^*$. \\ Déterminer une équation de la tangente $(T)$ en $A$ à la courbe $\mathcal{H}$.
  2. En déduire les coordonnées des points $B$ et $C$, intersection de la droite $(T)$ avec respectivement la droite des ordonnées et la droite des abscisses.
  3. Lorsque $a$ décrit $\R^*$ :
    • quel est le milieu du segment $[BC]$ ?
    • quelle est l'aire du triangle $BOC$ ?
  4. On désigne par $(N)$ la normale à $\mathcal{H}$ en $A$, c'est-à-dire la droite perpendiculaire en $A$ à la tangente $(T)$. \\ Déterminer une équation de la droite $(N)$.
  5. En déduire les coordonnées des points $D$ et $E$, intersection de la droite $(N)$ avec respectivement la droite des ordonnées et la droite des abscisses.
  6. Montrer que les triangles $BAD$ et $EAC$ sont semblables, c'est-à-dire justifier que \[ \Frac{BD}{EC} = \Frac{AB}{AE} = \Frac{AD}{AC} \]
Exercice 9331. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^3-2x^2+1$. $\Cf$ est la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal du plan dont l'origine est le point $O$.
  1. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\Cf$ au point d'abscisse $1$. \\ Etudier la position de $\Cf$ par rapport à la droite $(T)$.
  2. En quel point de $\Cf$ existe-t-il une tangente strictement parallèle à $(T)$ ?
  3. Soit $m$ un réel non nul donné. Selon les valeurs du réel $m$, donner le nombre de points d'intersection de la courbe $\Cf$ avec la droite $(d)$ dont une équation est $y=mx+1$.
Exercice 9332. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$.
  1. Démontrer que si $f$ est paire, alors sa fonction dérivée $f'$ est impaire.
  2. Démontrer que si $f$ est impaire alors sa fonction dérivée $f'$ est paire.
  3. Démontrer que si $f$ est $T$-périodique, alors $f'$ l'est également.
Exercice 9333. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que \[ \forall x \in I, u(x) > 0\] On considère la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x) = \sqrt{u(x)}$. \\ Montrer que cette fonction est dérivable en $a \in I$ et, pour tout $a \in I$, \[ f'(a) = \Frac{u'(a)}{2\sqrt{u(a)}} \]
Exercice 9334. Pour $a$ et $b$ deux réels, pour tout $n \in \N^*$, \[ \boxed{a^n-b^n = (a-b) \sum_{k=1}^{n}a^{n-1-k}b^k} \] Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $n \geqslant 2$ un entier naturel. On considère la fonction $g$ définie sur $I$ par \[ g(x) = (u(x))^n = u^n(x) \] En utilisant l'égalité de Bernoulli, montrer que cette fonction est dérivable en $a \in I$ et, pour tout $a \in I$, \[ g'(a) = nu'(a)(u(a))^{n-1} \]
Exercice 9335. Soient un réel $b > 0$ et un entier $n \geqslant 1$.
  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = \sqrt{x}(x+b)^n$. \\ Justifier que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ que l'on précisera. \\ Montrer que, pour tout réel $x \in I$, il existe une fonction affine $g$ telle que \[f'(x) = \Frac{(x+b)^{n-1}g(x)}{\sqrt{x}} \]
  2. On considère la fonction $h$ définie sur $\Rp$ par $h(x) = \Frac{ \sqrt{x}}{(x+b)^n}$. \\ Montrer que, pour tout réel $x \in I$, il existe une fonction affine $a$ telle que \[ h'(x) = \Frac{a(x)}{\sqrt{x}(x+b)^{n+1}}\]
Exercice 9337. Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle ouvert $I$. \\ Nous supposons qu'il existe un réel $a \in I$ tel que
  • $f(a)=g(a)=0$,
  • $g'(a) \neq 0$.
Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to a} \Frac{f(x)}{g(x)} = \Frac{f'(a)}{g'(a)}$. \\ Application. \\ Quelle est la limite en 0 de la fonction $h$ : $x \mapsto \Frac{x+1-\sqrt{x+1}}{x^3-2x}$ ?
Exercice 9336. Soit $n \in \N^*$. On considère la somme \[ S_n = 1+2x+3x^3+ \hdots + nx^{n-1} \]
  1. On considère $x=1$. Déterminer $S_n(1)$.
  2. On considère maintenant $x \neq 1$. On pose $f_n(x) = 1+x+x^2+\hdots+x^n$.
    1. Déterminer de deux façons la fonction dérivée $f_n'$ de $f_n(x)$.
    2. En déduire que \[ S_n(x) = \Frac{ nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}\]