Dérivées et variations

Exercice 8559. Dresser le tableau de variation des fonctions définies par les expressions suivantes :
  1. $f(x) = x^3 - \dfrac{15}{2}x^2 + 18x - 5$
  2. $f(x) = 2x + \dfrac{3}{x}$
  3. $f(x) = \dfrac{2x-3}{x+5}$
  4. $f(x) = \dfrac{-2x+3}{-2x+4}$
Exercice 9208. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$. On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left(O \; ; \; \vec{i}, \vec{j}\right)$.
  1. Donner $\mathcal{D}_f$, l'ensemble de définition de $f$.
  2. Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$.
  3. Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $0$.
  4. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}_f$ et déterminer sa dérivée $f'$.
  5. Dresser le tableau de variations de $f$.
  6. Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$ et sa tangente au point d'abscisse $0$.
Exercice 9338. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par \[f(x) = 2x^2-8x+1\] Dresser le tableau de variations de $f$.
Exercice 9339. Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par \[f(x) = x^3+ \Frac{9}{2}x^2 - 12x+ 5\] Dresser le tableau de variation de $f$.
Exercice 9340. Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \Frac{x+3}{2-x}$.\\ Dresser le tableau de variation de $f$ sur son intervalle de définition à déterminer.
Exercice 9341. Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes sur leur intervalles de définition à déterminer : \\
  • $f(x) = -3x^2+12x-5$
  • $g(x) = x^3-9x^2-21x+4$
  • $h(x) = \Frac{5x-3}{x-1}$
  • $i(x) = \Frac{x^3-2x-1}{x^3}$
  • $j(x) = \Frac{\sqrt{x}}{x+1}$
Exercice 9342. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \Frac{x^2-1}{x+2}$. \\ Après avoir déterminé l'ensemble de définition de $f$, étudier les variations de la fonction $f$.
Exercice 9343. Soit $m$ un réel donné et $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par \[ f_m(x) = \Frac{x^2+m}{x^2+1} \]
  1. Justifier que la fonction $f_m$ est bien définie sur $\R$.
  2. Etudier la parité de la fonction $f_m$.
  3. Calculer $f'_m(x)$ pour tout réel $x$.
    1. Dans cette question on suppose $m<1$. \\ Dresser le tableau de variations de la fonction $f_m$.
    2. Même question si $m>1$.
    3. Que peut-on dire de la fonction $f_1$ (obtenue pour $m=1$) ?
Exercice 9344. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \Frac{x^2-4}{2x-5}$ et on note $\Cf$ sa représentation graphique.
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ noté $\mathscr{D}_f$.
  2. Déterminer l'expression de $f'(x)$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathscr{D}_f$.
  3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\Cf$ au point d'abscisse 3.
  4. Donner les coordonnées des points où la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses.
  5. Tracer dans un repère orthonormé, la courbe $\Cf$, la droite $T$ et les tangentes trouvées à la question précédente.
Exercice 9345.
  1. On considère la fonction $u$ : $x \mapsto \sqrt{x^2+1}$ définie sur $\R$. On admet que $u$ est dérivable sur $\R$. \\ En dérivant de deux façons différentes la fonction $u^2$, montrer que pour tout réel $x$, \[ u'(x) = \Frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \]
  2. On considère la fonction $f : x \mapsto \Frac{(x^2-2)\sqrt{x^2+1}}{3}$ définie sur $\R$.
    1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$ et montrer que pour tout réel $x$, \[ f'(x) = \Frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}} \]
    2. Etudier les variations de $f$ sur $\R$.
Exercice 9346. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 5x^2-10x+1$.
  1. Dresser le tableau de variations de $f$.
  2. En déduire que la fonction $f$ admet un extremum sur $\R$. On précisera la valeur où il est atteint.
  3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point de l'extremum.
Exercice 9347. On considère la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par \[f(x) = x+\Frac{1}{x}\] Démontrer que cette fonction admet un minimum qu'on précisera.
Exercice 9348. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 +4x-5$.
  1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante.
  2. Vérifier que 1 est racine de $f$.
  3. Dresser le tableau de variations de $f$ et en déduire le signe de $f$ en fonction de $x$.
Exercice 9349. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par \[ f(x) = x^3-ax \] où $a$ est un nombre réel strictement positif. \\ Déterminer $a$ pour que $f$ admette un extremum en 2.
Exercice 9350. $h$ est une fonction définie sur $\Rp$ par \[ h(x) = \Frac{2x}{x^2+9} \]
  1. Dresser le tableau de variations de $h$.
  2. Démontrer que pour tout nombre réel $x \geqslant 0$, \[ h(x) \leqslant \Frac{1}{3} \]
  3. Démontrer que pour tout nombre réel $x \geqslant 5$, \[ 0 \leqslant h(x) \leqslant 0,3 \]
Exercice 9351. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[2,+\infty[$ par \[f(x) = x^3 \text{ et } g(x) = -5x+18 \] Etudier la position relative des courbes représentatives $\Cf$ et $\Cg$.
Exercice 9353. On considère la fonction $f$ : $x \mapsto \Frac{x+1}{x^2+8}$ définie sur $\R$ et on note $\Cf$ sa courbe dans un repère orthonormé.
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$ et déterminer $f'(x)$.
  2. Etudier les variations de $f$ sur $\R$.
  3. Quels sont les extremums (locaux) de $f$ sur $\R$ ?
  4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\Cf$ au point d'abscisse 0.
  5. Etudier les positions relatives de $T$ et de $\Cf$.
Exercice 8567. Dans un repère orthonormal $\left(O \; ; \; \vec{i}, \vec{j}\right)$, on considère le point $A(1 \; ; \; 1)$. À tout réel $x > 1$, on associe le point $M(x \; ; \; 0)$. On note $N$ le point d'intersection de la droite $(AM)$ avec l'axe des ordonnées.
  1. Montrer que l'ordonnée du point $N$ est $\dfrac{x}{x-1}$.
  2. En déduire l'aire du triangle $OMN$.
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $]1 \; ; \; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{2(x-1)}$. Calculer $f'(x)$ et déterminer le sens de variation de $f$.
  4. Quelle est la position du point $M$ telle que l'aire du triangle $MNO$ soit minimale ?
Exercice 8568. Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2x^2+5x-11}{x+4}$.
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
  2. Vérifier que la dérivée $f'$ s'exprime par $\dfrac{2x^2+16x+31}{(x+4)^2}$.
  3. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur son ensemble de définition.
  4. Démontrer que $y = 2x-3$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$. En déduire les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
Exercice 8570. Pour la fabrication d'un livre, on doit respecter sur chaque page des marges de $2$ cm à droite et à gauche et de $3$ cm en haut et en bas. Soit $x$ et $y$ respectivement la largeur et la longueur de la page en cm.
  1. Si $x = 28$ et $y = 31$, calculer l'aire de la portion de page disponible pour l'impression.
  2. On désire que la surface disponible pour l'impression soit de $600 \; \mathrm{cm}^2$. Trouver la valeur de $x$ pour laquelle la consommation de papier est minimale.
Exercice 9352. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x) = x^3-x^2-x \] On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
  1. Etudier les variations de $f$ sur $\R$.
  2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{C}$ avec l'axe des abscisses.
  3. Donnez l'équation réduite de la tangente $(T_a)$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $a$.
    1. Développer $(x-a)^2(x+2a-1)$.
    2. Déterminer, en fonction de $a$, le nombre et les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la tangente $(T_a)$.
Exercice 9357. Etudier les variations de la fonction définie sur $]1,+\infty[$ par \[f(x) = \Frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\]
Exercice 9358. Dans un repère orthonormé, $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction racine carrée. $A$ est le point de coordonnées $(1;0)$. Déterminer la position du point $M$ de $\mathscr{C}$ le plus proche de $A$.
Exercice 9359. Comparer, sans utiliser la calculatrice, les deux nombres \[ A = \Frac{ 1,098^2}{2,098} \: \text{ et } \: B = \Frac{1,088^2}{2,088}\]
Exercice 9360. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. \\ Nous supposons qu'il existe un réel $\lambda$ tel que, pour tout réel $x \in I$, \[ f'(x) \leqslant \lambda \]
  1. Etudier les variations de la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x) = f(x) - \lambda x$.
  2. En déduire que si $a$ et $b$ sont deux éléments de $I$ tels que $a < b$, alors \[ f(b)-f(a) \leqslant \lambda (b-a)\]
Exercice 9361.
  1. Soit $n \in \N^*$. Déterminer le sens de variations sur $\Rp$ de la fonction \[ p \; : \; x \mapsto x^n \]
  2. On suppose que $n \geqslant 2$. Déterminer le sens de variations sur $\Rp$ de la fonction \[ g \: : \: x \mapsto (1+x)^{n} -nx-1 \]
  3. En déduire que pour tout $n \in \N^*$ et tout réel $x \geqslant 0$, nous disposons de l'inégalité de Bernoulli \[ (1+x)^{n} \geqslant 1+nx \]
  4. Application. Montrer que
    • $\forall n \in \N^*, \; 3^n \geqslant 1 + 2n.$
    • $ \forall n \in \N^*, \; \parenthese{1+\frac{1}{n}}^n \geqslant 2.$
    • $\forall n \in \N^*, \forall q \in ]1;+\infty[, q^n \geqslant 1+n(q-1)$.
Exercice 9362. Soit $f$ la fonction définie sur $\Rpe$ par \[ f(x) = 3x^3+\Frac{1}{x} \]
  1. Montrer que cette fonction atteint sur $\Rpe$ un minimum que l'on précisera.
  2. Soient trois réels $a > 0$, $b> 0$ et $c>0$. Justifier l'inégalité \[ 3abc(a^3+b^3+c^3) +ab+ac+bc \geqslant 4 \sqrt{3} abc \]
Exercice 9356. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par \[ f(x) = 0,15x^5-2x^3+12x+200\]
    1. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
    2. Déterminer la fonction dérivée $f''$ de $f'$. On dit que $f''$ est la fonction dérivée seconde de $f$.
    1. Etudier le signe de $f''(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f'$.
    2. Déterminer le signe de $f'$.
    3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
Exercice 9363. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$. On désigne par $\Cf$ la courbe représentative de la fonction $f$ relativement à un repère orthongonal du plan. \\ Montrer que, quel que soit le réel $a$, si la dérivée $f'$ est croissante sur $\R$, alors la courbe $\Cf$ est au-dessus de la tangente $(T)$ au point de coordonnées $(a,f(a))$.\\