Equations, inéquations

Exercice 9621. \\
  1. Résoudre dans $\R$ l'équation $\sin{x} = - \Frac{1}{2}$ \\
  2. Résoudre sur $[0,2\pi[$ l'équation $\cos{x} = -\Frac{1}{2}$
Exercice 9622. On sait que $\cos{x} = \Frac{4}{5}$ \\
  1. Quelles sont les valeurs possibles de $\sin{x}$ ? \\
  2. Sachant de plus que $0 < x < \pi$ peut-on déterminer la valeur de $\sin{x}$ ?
Exercice 9623. \\
  1. Déterminer $\cos{x}$ sachant que $\sin{x} = \Frac{2}{3}$ et $x \in \intf{0}{\ps{2}}$ \\
  2. Déterminer $\sin{x}$ sachant que $\cos{x} = - \Frac{1}{5}$ et $x \in \intf{-\pi}{0}$ \\
  3. Déterminer $\cos{x}$ sachant que $\sin{x} = -\Frac{\sqrt{5}}{3}$ et $x \in \intf{\ps{2}}{\pi}$
Exercice 9624. Démontrer que pour tout réel $x$ on a : \\
  • $(\cos{x}+\sin{x})^2 + (\cos{x}-\sin{x})^2 = 2$ $\quad$ \\
  • $(\cos{x}+\sin{x})^2 - (\cos{x}-\sin{x})^2 = 4 \cos{x} \sin{x}$
Exercice 9625. A l'aide de $\sin$ et $\cos$, exprimer les expression suivantes : \\
  • $\sin(-x) + \cos(-x) \quad$ \\
  • $\sin(-x)-\sin(\pi+x) \quad$ \\
  • $\cos(\pi-x)+\cos(3\pi+x) \quad$ \\
  • $\sin\parenthese{x + \ps{2}} -3 \cos \parenthese{-\ps{2}-x} -4 \sin(\pi-x)$
Exercice 9626. A l'aide d'un cercle trigonométrique, résoudre dans $\R$ les équations suivantes : \\
  • $\cos{x} = \Frac{\sqrt{2}}{2} \quad$ \\
  • $\sin{x} = 0 \quad$ \\
  • $2\sin{x} + \sqrt{3} = 0$
Exercice 9627. Résoudre dans $\R$ puis visualiser les solutions dans le cercle trigonométrique des équations suivantes : \\
  • $\cos(2x) = \cos\parenthese{x +\ps{4}} \quad$ \\
  • $\sin\parenthese{x-\ps{6}} = \sin\parenthese{2x+\ps{3}} \quad$ \\
  • $\sin\parenthese{2x-\ps{6}} = \cos{\parenthese{x+\ps{4}}} \quad$ \\
  • $\cos{x} = \sin\parenthese{x + \ps{4}}$
Exercice 9628. Simplifier les expressions suivantes : \\
  • $A = \sin{x} + \cos \parenthese{x + \ps{2}} + \sin(\pi-x) - \cos \parenthese{ x- \ps{2}}$. \\
  • $B = \cos \parenthese{x-\fp{3}{2}} - 2 \cos\parenthese{ \ps{2} -x} + \sin(7\pi+x)$.
Exercice 9629. Résoudre dans $\R$ l'équation $2x^2+5x-3=0$. \\ En déduire les solutions de $\cos{2x} + 5\cos{x} - 2 = 0$ sur $\R$.
Exercice 9630. Résoudre dans $\R$ l'équation $2\sin^2{x} - 9 \sin{x} + 4 = 0$.
Exercice 8542. Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle $I$ donné :
  1. $I = ]-\pi \; ; \; \pi]$, \quad $\sqrt{2}\cos(2x) - 1 = 0$
  2. $I = [0 \; ; \; \pi]$, \quad $\cos(3x) = \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
  3. $I = ]-\pi \; ; \; \pi]$, \quad $\sin^2 x - \sin x - \dfrac{3}{4} = 0$
  4. $I = \mathbb{R}$, \quad $\cos^2(x) = \dfrac{1+\sin(x)}{2}$
Exercice 8543. Résoudre les inéquations suivantes dans l'intervalle $I$ donné :
  1. $I = ]-\pi \; ; \; \pi]$, \quad $\cos x \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  2. $I = ]-\pi \; ; \; \pi]$, \quad $2\sin(x) + 1 < 0$
  3. $I = ]-\pi \; ; \; \pi]$, \quad $\cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq 0$
  4. $I = ]-\pi \; ; \; \pi]$, \quad $2\cos^2 x - \cos x - 1 \leq 0$
  5. $I = ]-\pi \; ; \; \pi]$, \quad $\sin(2x) \geq \sin x$