Etudes de fonctions trigonométriques

Exercice 9650. $\mathscr{C}$ est le cercle trigonométrique associé à un repère orthonormé direct $(O,I,J)$ du plan. $M$ est le point de $\mathscr{C}$ tel que $(\vect{OI}, \vect{OM}) = \ps{4}$.
  1. Faire une figure.
  2. Quelles sont les coordonnées du point $M$ dans le repère $(O,I,J)$ ?
  3. Calculer la distance $IM$.
    1. Démontrer que : $IM = 2 \times \sin{\ps{8}}$.
    2. En déduire la valeur exacte de $\sin{\ps{8}}$.
  5. Calculer la valeur exacte de $\cos{ \ps{8}}$.
  6. Déduire les lignes trigonométriques de : $\fp{7}{8}$, $\fp{9}{8}$, $\fp{5}{8}$ et $\fp{3}{8}$.
Exercice 9651. On se propose de résoudre dans $\intf{0}{2\pi}$ l'équation \[(E) \: : \: (-\sqrt{2} + 2 \cos{x})\sin{x} < 0 \]
  1. En s'aidant d'un cercle trigonométrique, résoudre dans l'intervalle $\intf{0}{2\pi}$ chacune des inéquations suivantes :
    1. $\sin{x} \geqslant 0 \quad$
    2. $-\sqrt{2} + 2 \cos{x} \geqslant 0$.
    1. En déduire, à l'aide d'un tableau de signes, le signe sur l'intervalle $\intf{0}{2\pi}$ du produit $(-\sqrt{2}+2\cos{x})\sin{x}$.
    2. Conclure quand à l'ensemble des solutions de l'inéquation $(E)$.
Exercice 9652. Soit $f$ définie sur \R par $f(x) = \cos^2{x} + \cos{x} + 1$.
  1. Montrer que $f$ est paire et $2\pi$-périodique. \\ En déduire un intervalle d'étude de la fonction $f$.
  2. Montrer que la fonction dérivée $f'$ a pour expression : \[f'(x) = \sin{x}(-2\cos{x}-1)\]
  3. Résoudre l'inéquation $-2\cos{x}-1 \geqslant 0$ dans l'intervalle $[0,\pi]$.\\ En déduire le signe de $f'(x)$ sur $[0,\pi]$.
  4. Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $\intf{-\pi}{\pi}$.
Exercice 9653. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{2}{2+\cos{x}}$.
  1. Justifier que la fonction $f$ est définie sur \R.
  2. Montrer que la fonction $f$ est paire et $2\pi$-périodique. En déduire le plus petit intervalle d'étude de la fonction $f$.
  3. Calculer la dérivée $f'$ et déterminer son signe sur l'intervalle $\intf{0}{\pi}$.
  4. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\intf{-\pi}{\pi}$ et tracer l'allure de la fonction $f$ sur $\intf{-\pi}{3\pi}$.
Exercice 9654. Soit $f$ et $g$ définies sur $\Rp$ par $f(x) = e^{-x}\cos(4x)$ et $g(x) = e^{-x}$. \\
    1. Montrer que pour tout $x \in \Rp$, $-e^{-x} \leqslant f(x) \leqslant e^{-x}$.
    2. Que peut-on conjecturer pour les grandes valeurs de $x$ ?
  2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes $\Cf$ et $\Cg$.
  3. On définit la suite $\un$ par $u_n = f\parenthese{ \fp{n}{2}}$.
    1. Montrer que la suite $\un$ est une suite géométrique. En préciser la raison.
    2. En déduire le sens de variation de la suite $\un$ et étudier sa convergence.
    1. Montrer que : pour tout $x \in \Rp$, \[f'(x) = -e^{-x}[ \cos(4x) + 4\sin(4x) ]\]
    2. En déduire que les courbes $\Cf$ et $\Cg$ ont la même tangente en chacun de leur points communs.
  5. Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près par excès du coefficient directeur de la droite $(T)$ tangente à la courbe $\Cf$ au point d'abscisse $\ps{2}$.
Exercice 9655. Soit la fonction tangente, notée $\tan$, définie sur $\R \backslash \left\{ \ps{2} + k \pi, \, \, k \in \Z \right\}$ par \[ \tan{x} = \Frac{\sin {x}}{\cos{x}} \]
  1. Expliquer pourquoi la fonction est définie sur $\R \backslash \left\{ \ps{2} + k \pi, \, \, k \in \Z \right\}$.
    1. Montrer que la fonction tangente est impaire et $\pi$-périodique.
    2. En déduire le plus petit intervalle d'étude de la fonction tangente.
    1. Montrer que la dérivée de la fonction tangente sur l'intervalle $\into{-\ps{2}}{\ps{2}}$ peut se mettre sous la forme : $\tan'{x} = 1 + \tan^2{x}$.
    2. Que peut-on en déduire sur les variations de la fonction tangente sur $\into{-\ps{2}}{\ps{2}}$.
  4. Déterminer la tangente $(T_0)$ en 0 puis tracer la fonction tangente et $(T_0)$ sur $\into{-\ps{2}}{\ps{2}}$.
Exercice 9269. On donne la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \sin(2x+\pi)$.\\
    1. On rappelle la formule, pour tous réels $a$ et $b$ : $\sin(a+b) = \sin{a}\cos{b} + \cos{a}\sin{b}$.\\ Démontrer que pour tout $x \in \R$, $\sin(2x+\pi) = - \sin(2x)$. \\
    2. Montrer que $h$ est impaire. \\
  2. Montrer que $h$ est $\pi$-périodique. \\ En déduire l'intervalle minimum sur lequel on peut étudier cette fonction. \\
  3. Montrer que pour tout $x$, $h'(x) = 2 \cos(2x+\pi)$. \\
  4. On pose $X = 2x+\pi$. \\
    1. Lorsque $x \in \left[0;\Frac{\pi}{2}\right]$, à quel intervalle appartient $X$ ? \\
    2. Montrer que sur $\left[0; \Frac{\pi}{2}\right]$, $h'(x)$ s'annule en $\ps{4}$. \\
    3. Montrer que sur $\left[0;\Frac{\pi}{2}\right]$, $h'(x) > 0 \iff x \in \left]\Frac{\pi}{4};\Frac{\pi}{2}\right[$. \\
    4. En déduire le tableau de variations de $h$. \\
Exercice 9270. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \cos{x}(1-\cos{x})$.\\
  1. Justifier qu'on peut étudier cette fonction seulement sur l'intervalle $\intf{-\pi}{\pi}$.\\
  2. Justifier que $f$ est paire. \\ En déduire l'intervalle minimum sur lequel on peut étudier $f$.\\
  3. Montrer que, pour tout $x \in \R$, $f'(x) = \sin{x}(2 \cos{x}-1)$. \\
    1. Sur le cercle trigonométrique, représenter en rouge les solutions de l'équation $\sin{x} = 0$ situées dans l'intervalle $\intf{0}{\pi}$. \\
    2. Sur le cercle trigonométrique, représenter en bleu les solutions de l'équation $2\cos{x}-1=0$ situées dans l'intervalle $\intf{0}{\pi}$ puis représenter en noir les solutions de l'inéquation $2\cos{x}-1 > 0$ situées dans l'intervalle $\intf{0}{\pi}$. \\
    3. Etablir sur $\intf{0}{\pi}$ le tableau de variations de $f$. \\
  5. Sur le cercle trigonométrique, représenter en vert les solutions de l'équation $f(x) =0$ situées dans l'intervalle $\intf{0}{\pi}$. \\
Exercice 9271. Un triangle $ABC$ isocèle, de sommet $A$ est inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon 1. $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$. On note $\alpha$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{HOC}$. On suppose que $0 \leqslant \alpha \leqslant \Frac{\pi}{2}$. \\
    1. Exprimer $BC$ et $AH$ en fonction de $\alpha$.\\
    2. En déduire, en fonction de $\alpha$ l'aire du triangle $ABC$.\\
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0; \Frac{\pi}{2}\right]$ par $f(\alpha) = (1+\cos(\alpha))\sin(\alpha)$. \\ Montrer que $f'(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) + \cos(\alpha) - 1$. \\
    1. Factoriser le polynôme $2X^2+X-1$ puis en déduire une factorisation de $f'(\alpha)$. \\
    2. Dresser le tableau de variation de $f$. \\
  4. Démontrer qu'il existe une valeur de $\alpha$, que l'on déterminera, pour laquelle l'aire du triangle $ABC$ est maximale. \\Préciser ce maximum. Quelle est alors la nature du triangle $ABC$ ? \\
Exercice 9272. On définit la fonction tangente ($\tan$) par $\tan(x) = \Frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. \\
  1. Sur quel ensemble $\mathscr{D}_f$ la fonction tangente est-elle définie ? \\
  2. Montrer que la fonction tangente est périodique de période $\pi$. \\
  3. Par la suite on étudiera la fonction tangente sur l'intervalle $I = \left]-\Frac{\pi}{2};\Frac{\pi}{2} \right[$. \\ Montrer que la fonction tangente est dérivable sur $I$ puis montrer que pour tout $x \in I$, $\tan'(x) = \Frac{1} {\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$. \\
  4. Calculer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow (-\pi/2)^+} \tan(x)$ et $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow (\pi/2)^-} \tan(x)$. \\
  5. Tracer le tableau de variation de la fonction tangente sur $I$.\\
  6. Tracer la courbe de la fonction tangente sur l'intervalle $I$.\\ A partir de cette courbe, comment obtiendrait-on la courbe complète de la fonction tangente sur $\R$ ?