Rappels sur les fonctions

Exercice 8518.
  1. Pour $x \geq 0$, comparer $(x+1)^2$ et $x^2$.
  2. Pour $x \leq 0$, comparer $(x-4)^2$ et $(x-3)^2$.
  3. Pour $x \geq 5$, comparer $(x-4)^2$ et $(x-3)^2$.
Exercice 8519. Donner un encadrement de $x^2$ lorsque :
  1. $x \in [1 \; ; \; 2]$
  2. $x \in [3 \; ; \; 7[$
  3. $x \in \; ]-4 \; ; \; -1]$
  4. $x \in \; ]-8 \; ; \; 0[$
  5. $x \in [-3 \; ; \; 5]$
  6. $x \in \left[-\sqrt{5} \; ; \; 2\right[$
Exercice 8521. Une bille métallique de rayon $x$ cm ($0 < x < 5$) repose sur le fond d'une boîte cubique de $10$ cm d'arête. Exprimer, en fonction de $x$, le volume d'eau $V(x)$ que l'on doit verser dans la boîte de façon à recouvrir exactement la bille.
Exercice 8522. Caroline fait du toboggan à la piscine. Arrivée au bas du toboggan, sa trajectoire dans l'air est une parabole d'équation $y = ax^2 + h$.
  1. La fin du toboggan se situe à $1{,}50$ m au-dessus du niveau de l'eau et le point d'entrée dans l'eau est à $2$ m du bord. Déterminer les valeurs de $a$ et de $h$.
  2. La valeur du paramètre $a$ dépend de la vitesse (en m/s). On sait que $a = -\dfrac{6}{v^2}$. Quelle est la vitesse de Caroline au moment de quitter le toboggan ?
Exercice 8523. On veut faire une gouttière avec une longue feuille de métal de $12$ cm de large en pliant les deux longs côtés et en les relevant perpendiculairement à la feuille. Quelle hauteur doivent avoir les côtés relevés pour que la gouttière ait une contenance maximale ?
Exercice 8524. Les bonds des animaux sauteurs ont typiquement des trajectoires paraboliques. La figure illustre le bond d'une grenouille superposé à un système de coordonnées. La longueur du saut est de $2{,}7$ m et la hauteur maximale au-dessus du sol est de $0{,}9$ m. Donner une équation de la trajectoire du saut de la grenouille sous forme standard.
Exercice 8520. On considère un trapèze rectangle $OABC$ avec $OA = 10$ cm, $AB = 5$ cm et $BC = 4$ cm. À tout point $M$ du segment $[OA]$, avec $OM = x$, on fait correspondre l'aire du domaine ombré, notée $f(x)$ (exprimée en $\mathrm{cm}^2$).
  1. Donner une formule explicite de $f(x)$ sur chacun des intervalles $[0 \; ; \; 6]$ et $[6 \; ; \; 10]$.
  2. Représenter graphiquement la fonction $f$.
Exercice 8525. Pour quelle valeur de $a$ réel l'équation \[ |x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-4| + |x-5| = a \] possède-t-elle une unique solution ?
Exercice 8526. Démontrer qu'il n'existe pas de fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ strictement croissante qui vérifie : \[ \text{pour tout } x \in \mathbb{R}, \quad f(x^2) - (f(x))^2 \geq \frac{1}{4} \] Indication : si $f$ existe, utiliser $x = 0$ et $x = 1$.