Probabilités conditionnelles

Exercice 9674. Un groupe de touristes arrive près de l'horloge astronomique de Prague. \\ 60\% des touristes sont Anglais, les autres sont Français. \\ Parmi les touristes Anglais, 20\% parlent français. \\ Le guide, qui ne connaît pas ce groupe, décide de donner les explications en français. \\ On choisit au hasard l'un des touristes du groupe. \\ Déterminer la probabilité que ce touriste comprenne les explications du guide.
Exercice 8555. Un chirurgien orthopédique commande des prothèses chez trois fabricants $A$, $B$ et $C$. Le tiers des prothèses provient de $A$, $30\%$ provient de $B$ et le reste provient de $C$. La proportion de prothèses défectueuses est de $0{,}3\%$ chez $A$, de $0{,}6\%$ chez $B$ et de $0{,}5\%$ chez $C$.\\ On prend au hasard la fiche d'un patient qui s'est fait poser une prothèse chez ce médecin. Quelle est la probabilité que cette prothèse soit défectueuse ?
Exercice 8556. On sait que $1$% d'une population est atteinte d'une certaine maladie orpheline. On dispose d'un test de dépistage avec les données suivantes :
  • si la personne est atteinte, le test est positif dans $90$% des cas ;
  • si la personne n'est pas atteinte, le test est néanmoins positif dans $5$% des cas.
On choisit une personne au hasard. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».
  1. Traduire les hypothèses en termes de probabilités.
    1. Calculer $\mathbb{P}(M \cap T)$ et $\mathbb{P}(\overline{M} \cap T)$.
    2. Calculer $\mathbb{P}(T)$.
  3. Quelle est la probabilité qu'une personne soit réellement atteinte sachant que son test est positif ?
  4. Quelle est la probabilité qu'une personne ne soit pas atteinte sachant que son test est positif ?
  5. Quelle est la probabilité qu'une personne soit atteinte sachant que son test est négatif ?
Exercice 8557. Un professeur se trouve en possession de $5$ clefs de salles. Parmi ces $5$ clefs, $2$ sont défectueuses et n'ouvrent pas la porte, les $3$ autres l'ouvrent. Il les teste une à une, au hasard et sans remise. On appelle clef numéro $x$ la clef utilisée au $x$-ième essai.
  1. On appelle $D_1$ l'événement « la clef numéro $1$ n'ouvre pas la porte ». Calculer sa probabilité.
  2. On appelle $D_2$ l'événement « la clef numéro $2$ n'ouvre pas la porte ». Calculer $\mathbb{P}_{D_1}(D_2)$, puis $\mathbb{P}(D_1 \cap D_2)$.
  3. Quelle est la probabilité de l'événement « les clefs numéros $1$ et $2$ ouvrent la porte et la clef numéro $3$ ne l'ouvre pas » ?
  4. Pour $1 \leq i < j \leq 5$, on note $(i \; ; \; j)$ l'événement « les clefs qui n'ouvrent pas la porte sont les clefs numéros $i$ et $j$ ».
    1. Calculer $\mathbb{P}(2 \; ; \; 4)$.
    2. Calculer $\mathbb{P}(4 \; ; \; 5)$.
Exercice 9669. Une enquête sur un échantillon représentatif d'une population donnée a fourni les résultats suivants :
  • 25 \% des personnes interrogées pratiquent le bricolage.
  • Parmi les personnes qui pratiquent le bricolage, 5 \% font de la plomberie.
On interroge au hasard une personne de cet échantillon. \\ On désigne par
  • $A$ l'événement : "la personne interrogée pratique le bricolage"
  • $C$ l'événement : "la personne interrogée pratiquent la plomberie"
Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique le bricolage et la plomberie.
Exercice 9670. $A$ et $B$ sont deux événements d'une expérience aléatoire munie d'une loi de probabilité $P$. \\ $P(A)=0,5$ ; $P(B)=0,4$ ; $P(A\cup B) = 0,7$.\\ Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? indépendants ?
Exercice 9671. Pour des raisons sanitaires, une municipalité a recensé les chiens du village.
  • 80 \% sont traités contre les puces ;
  • 30 \% des chiens traités contre les puces ont des puces ;
  • 5 \% des chiens non traités contre les puces n'ont pas de puces.
Dans la liste des chiens de ce village, on en choisit un au hasard et on note : \\ $T$ l'événement : "le chien est traité contre les puces": $P$ l'événement ; "le chien a des puces".
  1. Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré en commençant par l'événement $T$.
  2. Calculer et interpréter les probabilités des événements suivants :
    • $T \cap \bar{P}$
    • $\bar{T} \cap P$.
Exercice 9672. Une entreprise dispose d'un stock de guirlandes électriques. On sait que $40\%$ des guirlandes proviennent d'un fournisseur $A$ et le reste d'un fournisseur $B$. \\ Un quart des guirlandes provenant du fournisseur $A$ et un tiers des guirlandes provenant du fournisseur $B$ peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des raisons de sécurité. \\ On choisit au hasard une guirlande dans le stock. \\ On note $A$ (respectivement $B$) l'événement : "la guirlande provient du fournisseur $A$ (respectivement $B$)" et $I$ l'événement : "la guirlande ne peut être utilisée qu'en intérieur".
  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
  2. Montrer que $P(I)=0,3$.
  3. On choisit une guirlande ne pouvait être utilisée qu'en intérieur. \\ Le responsable de l'entreprise affirme : " il y a autant de chances qu'elle provienne du fournisseur $A$ que du fournisseur $B$". A-t-il raison ?
Exercice 9673. La documentaliste d'un lycée souhaite acheter les romans de la saga Harry Potter (de J.K Rowling). \\ Elle enquête pour savoir si le sujet intéresse les élèves :
  • 10\% des élèves ont lu le 7e tome;
  • 90\% des élèves qui ont lu le 7e tome on vu le 7e film :
  • 55\% des élèves qui n'ont pas lu le 7e tome ont vu le 7e film.
La documentaliste tire au hasard une réponse d'un des élèves interrogés.
  1. Déterminer la probabilité que cet élève ait vu le 7e film.
  2. L'élève a vu le 7e film. Quelle est la probabilité qu'il ait lu le 7e tome ?
Exercice 8558. Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie. Si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la suivante est $0{,}6$. Si elle perd une partie, la probabilité qu'elle perde la suivante est $0{,}7$. On note pour tout entier $n \geq 1$ : $G_n$ l'événement « Juliette gagne la $n$-ième partie » et $P_n$ l'événement « Juliette perd la $n$-ième partie ». Partie A
  1. Déterminer $\mathbb{P}(G_1)$, $\mathbb{P}_{G_1}(G_2)$ et $\mathbb{P}_{P_1}(G_2)$. En déduire $\mathbb{P}(G_2)$.
  2. Calculer $\mathbb{P}(P_2)$.
Partie B\\ On pose pour tout entier $n \geq 1$, $x_n = \mathbb{P}(G_n)$ et $y_n = \mathbb{P}(P_n)$.
  1. Déterminer $\mathbb{P}_{G_n}(P_{n+1})$ et $\mathbb{P}_{P_n}(G_{n+1})$.
  2. Montrer que pour tout entier $n \geq 1$ : \[ \begin{cases} x_{n+1} = 0{,}6x_n + 0{,}3y_n \\ y_{n+1} = 0{,}4x_n + 0{,}7y_n \end{cases} \]
  3. Pour tout entier $n \geq 1$, on pose $v_n = x_n + y_n$ et $w_n = 4x_n - 3y_n$.
    1. Montrer que $(v_n)$ est constante de terme général $1$.
    2. Montrer que $(w_n)$ est géométrique et exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
    1. Déduire du 3. l'expression de $x_n$ en fonction de $n$.
    2. Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite.