Produit scalaire

Exercice 8576. Soit un carré $ABCD$. On construit un rectangle $APQR$ tel que $P$ et $Q$ sont sur les côtés $[AB]$ et $[AD]$ du carré et $AP = DR$.
  1. Méthode géométrique.
    1. Montrer que $\overrightarrow{CQ} \cdot \overrightarrow{AR} = -AR \times DR$ puis que $\overrightarrow{CQ} \cdot \overrightarrow{AP} = -AP \times BP$. En déduire que $\overrightarrow{CQ} \cdot \overrightarrow{AR} = \overrightarrow{CQ} \cdot \overrightarrow{AP}$.
    2. En déduire que les droites $(CQ)$ et $(RP)$ sont perpendiculaires.
  2. Méthode analytique. On se place dans le repère orthonormé $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$.
    1. Si $P$ a pour coordonnées $(a \; ; \; 0)$, déterminer les coordonnées de $R$ et de $Q$.
    2. Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{PR}$ et de $\overrightarrow{QC}$.
    3. En déduire que les droites $(CQ)$ et $(RP)$ sont perpendiculaires.
Exercice 8577. Un navire $A$ se trouve au large de deux villes $B$ et $C$ séparées de $5$ km. L'angle $\widehat{ABC}$ est de $60°$ et l'angle $\widehat{BCA}$ est de $80°$.
  1. Déterminer les longueurs $AC$ et $AB$.
  2. La ville $D$ se trouve à $1{,}5$ km de la ville $B$. Calculer la distance qui sépare $D$ du bateau $A$.
Exercice 8578. Soient $ABCD$ un carré de côté $a$, $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AD]$ et $[DC]$. On note $\alpha$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{IBJ}$.
  1. Montrer que $\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ} = \dfrac{5}{4}a^2\cos(\alpha)$.
  2. Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BJ}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
  3. En déduire une autre manière de calculer $\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ}$ et déterminer $\alpha$ au degré près.
Exercice 8579. Dans un repère orthonormé $(O \; ; \; \vec{i}, \vec{j})$, on donne les points $B(6 \; ; \; 0)$ et $C(2 \; ; \; 4)$.
  1. Déterminer les coordonnées du centre $\Omega$ du cercle circonscrit $(\mathscr{C})$ au triangle $OBC$. Déterminer le rayon de $(\mathscr{C})$.
  2. Déterminer les coordonnées de l'orthocentre $H$ de $OBC$.
  3. Déterminer les coordonnées du centre de gravité $G$ de $OBC$.
  4. Montrer que $\Omega$, $H$ et $G$ sont alignés. Déterminer le réel $k$ tel que $\overrightarrow{\Omega H} = k\overrightarrow{\Omega G}$.
  5. Montrer que $\overrightarrow{\Omega H} = \overrightarrow{\Omega O} + \overrightarrow{\Omega B} + \overrightarrow{\Omega C}$.
  6. Déterminer les coordonnées de $H'$, symétrique de $H$ par rapport à la droite $(OB)$. Montrer que $H'$ est sur $(\mathscr{C})$.
Exercice 8580. $ABCD$ est un carré et $M$ un point quelconque de $[BC]$. $BMN$ est un triangle isocèle en $B$, extérieur au carré $ABCD$. Démontrer que les droites $(AM)$ et $(NC)$ sont perpendiculaires.
Exercice 8581. Les triangles $OAB$ et $OCD$ sont rectangles isocèles en $O$, de sens direct. $I$ est le milieu de $[BC]$. Montrer que la médiane issue de $O$ dans $OBC$ est la hauteur issue de $O$ dans $OAD$.