Formes linéaires et hyperplans

Exercice 5379. Soient $H$ un hyperplan et $F$ un sous-espace vectoriel non inclus dans $H$.\\ Montrer \[ \dim(F\cap H)=\dim F-1. \]
Exercice 5380. Soit $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans de $\mathbb{R}^n$ avec $n \geqslant 4$. Montrer que $\dim(H_1 \cap H_2) > 1$.
Exercice 5381. Soit $n\in\N^*$. Montrer qu’il existe un seul $(c_1,\dots,c_n)$ dans $\R^n$ tel que pour tout \[ P\in\R_{2n+1}[X], \] on ait \[ \int_{-1}^{1}P(x)\,dx = 2P(0)+\sum_{k=1}^{n}c_k\big(P(k)+P(-k)-2P(0)\big). \]
Exercice 5382. Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie, $H$ un hyperplan de $E$ et $D$ une droite vectorielle de $E$.\\ À quelle condition $H$ et $D$ sont-ils supplémentaires dans $E$ ?
Exercice 5383. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant 1$. Montrer \[ \forall x,y\in E,\ x\neq y \Longrightarrow \exists \varphi\in E^*,\ \varphi(x)\neq \varphi(y). \]
Exercice 5384. Soient $f_1,\dots,f_n$ des formes linéaires sur un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$.\\ On suppose qu'il existe \[ x\in E\setminus \{0\} \] tel que \[ f_1(x)=\cdots =f_n(x)=0. \] Montrer que la famille \[ (f_1,\dots,f_n) \] est liée.
Exercice 5385. Soit $H$ un hyperplan d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension quelconque.\\ Soit $a$ un vecteur de $E$ qui n'appartient pas à $H$. Montrer \[ H\oplus \mathrm{Vect}(a)=E. \]
Exercice 5386. Soient $H$ un hyperplan d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension quelconque et $D$ une droite vectorielle non incluse dans $H$.\\ Montrer que $D$ et $H$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 5387. Soit $H$ un hyperplan d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension quelconque.\\ On suppose que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $H$. Montrer \[ F=H \quad \text{ou} \quad F=E. \]
Exercice 5388. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie $n \geq 2$ et $H_1$, $H_2$ deux hyperplans distincts de $E$. Calculer $\dim(H_1 \cap H_2)$.
Exercice 5389. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie supérieure à $2$.\\ Soient $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans distincts de $E$.\\ Déterminer la dimension de $H_1\cap H_2$.
Exercice 5390. Soit $E$ un espace de dimension finie, puis $F$ un sous-espace de $E$. Montrer que $F$ est l’intersection de \[ \dim(E)-\dim(F) \] hyperplans.
Exercice 5391. Montrer que \[ F=\{P\in\R_4[X]\mid P(1)=0\} \] est un hyperplan de $\R_4[X]$. Déterminer une base de $F$ et un supplémentaire de $F$ dans $\R_4[X]$.
Exercice 5392. Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie, $D$ une droite de $E$ et $H$ un hyperplan de $E$. \\ Montrer que si $D$ n'est pas incluse dans $H$, alors $D$ et $H$ sont supplémentaires.
Exercice 5393. Soit $n \geqslant 2$ et $E=\C^n$. \\ On pose \[ H=\left\{(x_1,\ldots,x_n) \in \C^n \mid \Sum_{i=1}^n x_i=0\right\} \] et \[ e=(1,\ldots,1). \] Montrer que \[ H \oplus \Vect(e)=E. \]
Exercice 5394. On considère l’espace $E=\C_n[X]$, où $n$ est un entier naturel.\\
  1. Toutes les formes linéaires de $E$ sont-elles des évaluations, c’est-à-dire de la forme \[ \mathrm{ev}_\lambda:P\mapsto P(\lambda) \] pour un certain $\lambda\in\C$ ?\\
  2. Soient $\lambda_0,\dots,\lambda_n$ $(n+1)$ nombres complexes distincts. La famille \[ (\mathrm{ev}_{\lambda_0},\dots,\mathrm{ev}_{\lambda_n}) \] est-elle la base duale d’une base de $E$ ? Si oui, laquelle ?\\
  3. On note pour tout \[ k\in[0,n], \] la forme linéaire \[ \varphi_k:P\mapsto P^{(k)}(0). \] La famille \[ (\varphi_0,\dots,\varphi_n) \] est-elle la base duale d’une base de $E$ ? Si oui, laquelle ?
Exercice 5395. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g$ deux formes linéaires non nulles sur $E$. Montrer \[ \exists x\in E,\ f(x)g(x)\neq 0. \]
Exercice 5396. Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ tel que $f^2=0$. Montrer qu'il existe $a\in \mathbb{R}^3$ et $\varphi\in (\mathbb{R}^3)^*$ tels que, pour tout $x\in \mathbb{R}^3$, $f(x)=\varphi(x)a$.
Exercice 5397. Soient $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts et \[ \varphi : \mathbb{R}_{2n+1}[X]\to \mathbb{R}^{2n+2} \] définie par \[ \varphi(P)=\bigl(P(a_0),P'(a_0),\dots,P(a_n),P'(a_n)\bigr). \] Montrer que $\varphi$ est bijective.
Exercice 5398. Soit $a \in \mathbb{C}$. Montrer que $\{P \in \mathbb{C}[X] \mid P(a) = 0\}$ est un hyperplan de $\mathbb{C}[X]$ et en déterminer une base.
Exercice 5399. Dans $E = \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, $F = \mathrm{Vect}(E_{1,1})$ et $H = \left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \mid a+d = 0\right\}$. \\
  1. Justifier que $H$ est un hyperplan de $E$. Donner une base. \\
  2. Montrer que $F \oplus H = E$. \\
  3. Donner l'expression du projecteur $p_F$ sur $F$ parallèlement à $H$.
Exercice 5400. Soit $E$ un espace de dimension finie $n$. Soit $\mathcal{F}=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ une famille de $n$ formes linéaires sur $E$. Montrer que la famille $\mathcal{F}$ est une base de $\mathcal{L}(E,\K)$ si et seulement si l’application \[ x\longmapsto (\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)) \] est un isomorphisme de $E$ vers $\K^n$.
Exercice 5401. Soient $a\neq b$ deux réels, et considérons les quatre formes linéaires sur $\R_3[X]$ : \[ l_1:P\mapsto P(a),\quad l_2:P\mapsto P'(a),\quad l_3:P\mapsto P(b),\quad l_4:P\mapsto P'(b). \] La famille $(l_1,l_2,l_3,l_4)$ est-elle libre ?
Exercice 5402. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel.\\ On considère $p+1$ formes linéaires $f_1,\dots,f_p,g$ avec $(f_1,\dots,f_p)$ libre.\\ Montrer que \[ \bigcap_{i=1}^{p}\ker(f_i)\subset \ker(g) \] si et seulement si \[ g\in \mathrm{Vect}(f_1,\dots,f_p). \]
Exercice 5403. Soit $f\in\mathcal{L}(E)$ avec $E=n$. Si $V$ est un sous-espace de $E$, on dit que $V$ est hypostable s’il existe un hyperplan $H$ de $V$ tel que \[ f(H)\subset V. \]
  1. Montrer que si $V$ est hypostable et si \[ f(V)\not\subset V, \] alors $H$ est unique.\\
  2. Montrer que si $V$ est hypostable sans être stable, alors $V$ est un hyperplan de \[ V+f(V). \] Étudier la réciproque.\\
  3. Montrer que si $V$ est hypostable, il existe un sous-espace $X$ de $E$ dont $V$ est un hyperplan et qui soit encore hypostable.
Exercice 5404. Soit $n\in \mathbb{N}^*$.\\
  1. Montrer que l'application $\Theta$ définie par : \[ \Theta: \begin{array}{rcl} \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\mathbb{C})\\ A & \longmapsto & \left(M\longmapsto \mathrm{Tr}(AM)\right) \end{array} \] est un isomorphisme.\\
  2. En déduire que si $n\geqslant 2$, alors tout hyperplan de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ contient au moins une matrice inversible.
Exercice 5405. Soient $n\geqslant 1$ un entier, $\varphi$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\ On note $M\sim N$ dès que $M$ et $N$ sont semblables.\\ On suppose que si $A\sim B$, alors $\varphi(A)=\varphi(B)$.\\
  1. Montrer que pour tous $i$ et $j$ entre $1$ et $n$, $E_{i,i}\sim E_{j,j}$ et pour tous entiers $i\neq j$ et $k\neq \ell$ entre $1$ et $n$, $E_{i,j}\sim E_{k,\ell}$.\\
  2. Montrer que \[ S=\frac{1}{n} \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \] est semblable à $E_{1,1}$.\\
  3. Conclure qu'il existe $\lambda\in \mathbb{R}$ tel que $\varphi=\lambda \mathrm{Tr}$.