Dimension des espaces vectoriels

Exercice 5033. Soit $E$ l’ensemble des fonctions $f:\R\to\R$ telles qu’il existe $a,b,c\in\R$ vérifiant \[ \forall x\in\R,\quad f(x)=(ax^2+bx+c)\cos x. \]
  1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\R,\R)$.\\
  2. Déterminer une base de $E$ et sa dimension.
Exercice 5034. Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ Soient \[ f_1=e_1+2e_2+2e_3 \qquad\text{et}\qquad f_2=e_2+e_3. \] Montrer que la famille $(f_1,f_2)$ est libre et la compléter en une base de $E$.
Exercice 5035. Soit $E$ l’ensemble des fonctions $f:\R\to\R$.\\ Pour tout $n\in\N$, on note $f_n:x\mapsto x^n$.\\
  1. Soit $N\in\N$, montrer que $(f_0,f_1,\dots,f_N)$ est libre. On utilisera les racines d’un certain polynôme.\\
  2. En déduire que $E$ est de dimension infinie par l’absurde.
Exercice 5036. Soit $n\in\N^*$ et $E=\R^n$. On pose \[ H=\left\{(x_1,\dots,x_n)\in\R^n\mid \sum_{i=1}^n x_i=0\right\}. \] On note $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique de $E$.\\ Pour tout $i\in\{1,\dots,n-1\}$, on définit \[ f_i=e_i-e_{i+1} \] et \[ f_n=e_n. \]
  1. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
    1. Montrer que $(f_1,\dots,f_n)$ est une base de $E$.\\
    2. Montrer que $(f_1,\dots,f_{n-1})$ est une famille libre de $H$. En déduire que $\dim(H)\geqslant n-1$.\\
    3. Montrer que $\dim(H)=n-1$. En déduire que $(f_1,\dots,f_{n-1})$ est une base de $H$.
Exercice 5037. Soit \[ F=\{(x,y)\in\R^2\mid x+y=0\}. \]
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\R^2$ et donner sa dimension. Soit \[ G=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+y=0\}. \]
  2. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$ et donner sa dimension. Soit \[ H=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid x+y=0\}. \]
  3. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\R^4$ et donner sa dimension.
Exercice 5038. Soit \[ H=\{(a+b,b+c,c+d,d+a)\mid (a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4\} \]
  1. Le vecteur $(1,1,2,0)$ appartient-il à $H$ ?\\
  2. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$.\\
  3. Déterminer une base de $H$ et donner la dimension de $H$.
Exercice 5039. \\
  1. Montrer que l'ensemble $D_3(\R)$ des matrices diagonales de $M_3(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\R)$ dont on donnera la dimension. \\
  2. Montrer que l'ensemble $A_3(\R)$ des matrices antisymétriques de $M_3(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\R)$ dont on donnera la dimension. \\
  3. Généraliser le résultat précédent à $A_n(\R)$. \\
  4. Quelle est la dimension de $S_n(\R)$ ?
Exercice 5040. Donner la dimension de \[ \{P \in \R_3[X] \mid P(-1)=0\}. \] Faire de même avec \[ \left\{(u_n)\in \R^\N \mid \forall n \in \N,\ u_{n+2}=4u_{n+1}+5u_n\right\}. \] Faire de même avec les fonctions affines réelles.
Exercice 5041. Déterminer : \[ \dim(S_n(\mathbb{R})) \quad \mathrm{et} \quad \dim(A_n(\mathbb{R})), \] où $S_n(\mathbb{R})$ désigne l’espace des matrices symétriques et $A_n(\mathbb{R})$ l’espace des matrices antisymétriques.
Exercice 5042. Soit $p\in\N^*$ et $E$ l’ensemble des suites complexes $p$-périodiques, c’est-à-dire des suites $(u_n)$ telles que \[ \forall n\in\N,\quad u_{n+p}=u_n. \]
  1. Montrer que $E$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.\\
  2. Déterminer une base de $E$ formée de suites géométriques.
Exercice 5043. Dans $\R^4$, on considère les vecteurs \[ u=(1,0,1,0),\qquad v=(0,1,-1,0),\qquad w=(1,1,1,1),\qquad x=(0,0,1,0),\qquad y=(1,1,0,-1). \] Soit \[ F=\mathrm{Vect}(u,v,w) \qquad \mathrm{et} \qquad G=\mathrm{Vect}(x,y). \] Quelles sont les dimensions de $F$, $G$, $F+G$ et $F\cap G$ ?
Exercice 5044. Donner la dimension de \[ \{P\in\R_3[X]\mid P(-1)=0\}. \] Faire de même avec \[ \{(u_n)\in\R^\N\mid \forall n\in\N,\;u_{n+2}=4u_{n+1}+5u_n\}. \] Faire de même avec les fonctions affines réelles.
Exercice 5045. Soient $H$ un hyperplan en dimension finie et $F$ un sev non inclus dans $H$. Montrer que \[ \dim(F\cap H)=\dim(F)-1. \]
Exercice 5046. Soient $\mathcal{U}$, $\mathcal{V}$ et $\mathcal{W}$ trois sous-espaces vectoriels de $\R^n$.\\
  1. On suppose que $\dim(\mathcal{U})+\dim(\mathcal{V}) > n$. Montrer que $\mathcal{U} \cap \mathcal{V} \neq \{0\}$.\\
  2. On suppose que $\dim(\mathcal{U})+\dim(\mathcal{V})+\dim(\mathcal{W}) > 2n$. Montrer que $\mathcal{U} \cap \mathcal{V} \cap \mathcal{W} \neq \{0\}$.
Exercice 5047. \\
  1. Montrer que l’ensemble $D_3(\R)$ des matrices diagonales de $M_3(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\R)$ dont on donnera la dimension.\\
  2. Montrer que l’ensemble $A_3(\R)$ des matrices antisymétriques de $M_3(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\R)$ dont on donnera la dimension.\\
  3. Généraliser le résultat précédent à $A_n(\R)$.\\
  4. Quelle est la dimension de $S_n(\R)$ ?
Exercice 5048. Soit $n\in\mathbb{N}^*$, $0=x_0 < x_1 < \dots < x_n=1$ une subdivision de $[0,1]$ et $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ dont la restriction à chaque segment $[x_i,x_{i+1}]$, pour $0\leq i\leq n-1$, est affine. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{[0,1]}$. Donner la dimension de $F$ ainsi qu'une base de cet espace.
Exercice 5049. Soient \[ F=\{(x,y,z,t) \in \R^4 \mid x+y-z+t=0\} \] et \[ G=\{(x,y,z,t) \in \R^4 \mid x-y-z=0\}. \] Déterminer la dimension de $F$, $G$, $F+G$ et $F \cap G$.
Exercice 5050. Soient $F,G,H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$. On suppose que \[ G\subset H,\quad F\cap G=F\cap H \] et \[ F+G=F+H. \]
  1. On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que $\dim(G)=\dim(H)$ et en déduire que $G=H$. \\
  2. Montrer que la conclusion $G=H$ est encore vraie si $E$ est de dimension infinie.
Exercice 5051. Soit $E$ l’espace vectoriel des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.\\ On considère $F$ la partie de $E$ constituée des applications de la forme \[ x\mapsto P(x)\sin x+Q(x)\cos x \] avec \[ P,Q\in \mathbb{R}_n[X]. \]
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  2. Montrer que $F$ est de dimension finie et déterminer $\dim F$.
Exercice 5052.
  1. Quelle est la dimension de $\R$ en tant que $\R$-espace vectoriel ?\\
  2. Dans la suite, on considère $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel.\\
    1. On considère la famille \[ (1,\sqrt{2}). \] Montrer que cette famille est $\Q$-libre.\\
    2. Que peut-on en conclure sur la dimension de $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel ?\\
    3. Soit $(p_n)_{n\in\N^*}$ la suite des nombres premiers. Soit \[ n\in\N^*. \] Montrer que la famille \[ (\ln(p_1),\dots,\ln(p_n)) \] est $\Q$-libre.\\
    4. Que peut-on en déduire sur la dimension de $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel ? Conclure.
Exercice 5053. Soient $F$, $G$ et $H$ les ensembles suivants de $\R^4$ : \[ F=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid 2x-y+4z-3t=0\}, \] \[ G=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid y-4z+3t=0\}, \] \[ H=\Vect((-3,1,1,1),(6,2,-1,-2),(3,11,2,-1)). \]
  1. Décrire $F\cap G$ et montrer que c’est un sev de $\R^4$. Donner sa dimension.\\
  2. Montrer que $H\subset F\cap G$.\\
  3. En déduire que $H=F\cap G$.
Exercice 5054. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie, $F,G$ deux $\mathrm{sev}$ de $E$. Montrer :\\ \[ (\dim(F+G))^2+(\dim(F\cap G))^2\geqslant (\dim(F))^2+(\dim(G))^2 \] et étudier le cas d’égalité.
Exercice 5055. Soient \[ F=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid x+y-z+t=0\} \] et \[ G=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid x-y-z=0\}. \] Déterminer la dimension de $F$, $G$, $F+G$ et $F\cap G$.
Exercice 5056. Soient $x_1,\dots,x_n\in\R$ distincts. On pose \[ F=\{f\in\mathcal{C}(\R,\R)\mid \forall k\in\{1,\dots,n\},\; f(x_k)=0\}. \] Montrer que $F$ est un sev de $\mathcal{C}(\R,\R)$ et donner un supplémentaire.
Exercice 5057. On pose $\alpha=\sqrt2+\sqrt3$. On note $K$ le plus petit sous-corps de $\R$ contenant $\alpha$ et $L$ le plus petit sous-corps de $\R$ contenant $\sqrt2$ et $\sqrt3$.\\
  1. Déterminer un polynôme unitaire $P(X)\in\Q[X]$ de degré $4$ tel que $P(\alpha)=0$.\\
  2. Montrer que $P(X)$ est irréductible dans $\Q[X]$.\\
  3. Montrer que $K$ est un $\Q$-espace vectoriel et calculer sa dimension.\\
  4. Montrer que $K=L$.