Familles en dimension finie

Exercice 5058. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ On pose \[ \varepsilon_1=e_2+2e_3,\qquad \varepsilon_2=e_3-e_1,\qquad \varepsilon_3=e_1+2e_2. \] Montrer que $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ est une base de $E$.
Exercice 5059. On pose \[ e_1=(1,1,1),\qquad e_2=(1,1,0),\qquad e_3=(0,1,1). \] Montrer que $B=(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\R^3$.
Exercice 5060. On se place dans $E = \R^3$. \\ Soit \[ F = \{(x,y,z) \in E, \;\; x-2y+z=0 \} \quad et \quad G = Vect((1,1,0)) \] Montrer que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$. \\ Donner une base de $F$ et une base de $G$.
Exercice 5061. Pour tout $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$, on pose \[ u_k=(k,k-1,\ldots,2,1,0,\ldots,0) \in \R^n. \] Montrer que la famille $(u_1,\ldots,u_n)$ est une base de $\R^n$.
Exercice 5062. Calculer le rang des familles suivantes de $\mathbb{R}^3$ :\\
  1. $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$
  2. $(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)$
  3. $(1,2,1),(1,0,3),(1,1,2)$
Exercice 5063. Pour $k\in\{0,\ldots,n\}$, on pose \[ P_k=(X+1)^{k+1}-X^{k+1}. \] Montrer que la famille $(P_0,\ldots,P_n)$ est une base de $K_n[X]$.
Exercice 5064. Dans $E=\mathcal{F}(]-1,1[,\R)$, on considère $f_1,f_2,f_3,f_4$ définies par \[ f_1(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}},\quad f_2(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}},\quad f_3(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad f_4(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. \] Donner le rang de $(f_1,f_2,f_3,f_4)$.
Exercice 5065. Déterminer le rang des familles de vecteurs suivantes de $\R^4$ :
  1. $(x_1,x_2,x_3)$ avec \[ x_1=(1,1,1,1),\qquad x_2=(1,-1,1,-1),\qquad x_3=(1,0,1,1). \]
  2. $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ avec \[ x_1=(1,1,0,1),\qquad x_2=(1,-1,1,0),\qquad x_3=(2,0,1,1),\qquad x_4=(0,2,-1,1). \]
Exercice 5066. Soient \[ P_1=X^2+1,\quad P_2=X^2+X-1,\quad P_3=X^2+X. \] Montrer que la famille $(P_1,P_2,P_3)$ est une base de $K_2[X]$.
Exercice 5067. Pour tout $n\in\N$, on définit une fonction de $\R$ dans $\R$ par $f_n:x\mapsto \sin(x+n)$.\\
  1. Démontrer que $(f_0,f_1)$ est une famille libre de $\mathcal{F}(\R,\R)$.\\
  2. Démontrer que $f_{n+1}$ est combinaison linéaire de $f_n$ et $f_{n-1}$ en calculant $f_{n+1}+f_{n-1}$.\\
  3. En déduire proprement le rang de la famille $(f_0,\dots,f_n)$ si $n\geqslant 1$.
Exercice 5068. On note $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto x+1$ et $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto x^2$.\\ Quel est le rang de la famille \[ \mathcal{A}=(f,g,f\circ f,f\circ g,g\circ f,g\circ g)\;? \]
Exercice 5069. Pour tout $n \in \N$, on définit une fonction $f_n:\R \to \R$ par \[ \forall x \in \R,\quad f_n(x)=\sin(x+n). \]
  1. Démontrer que $(f_0,f_1)$ est une famille libre de $\mathcal{F}(\R,\R)$. \\
  2. Démontrer que $f_{n+1}$ est combinaison linéaire de $f_n$ et $f_{n-1}$ en calculant $f_{n+1}+f_{n-1}$. \\
  3. En déduire proprement le rang de la famille $(f_0,\ldots,f_n)$ si $n \geqslant 1$.
Exercice 5070. Soit $(x_1,\dots,x_n)$ une famille de vecteurs d’un $\K$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer que pour tout $p\leqslant n$, \[ \mathrm{rg}(x_1,\dots,x_p)\geqslant \mathrm{rg}(x_1,\dots,x_n)+p-n. \]
Exercice 5071. Dans $\R^3$, on considère le sous-espace vectoriel \[ H=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-2y+3z=0\}. \] Soient \[ u=(1,2,1) \qquad \mathrm{et} \qquad v=(-1,1,1). \] Montrer que $B=(u,v)$ forme une base de $H$.
Exercice 5072. Soit $M\in M_n(\R)$.\\ Trouver $d$ tel que $(I,M,\dots,M^d)$ soit liée.\\ En déduire un polynôme annulateur de $M$.
Exercice 5073. Pour tout $k\in\{1,\dots,n\}$, on pose \[ u_k=(k,k-1,\dots,2,1,0,\dots,0)\in\R^n. \] Montrer que la famille $(u_1,\dots,u_n)$ est une base de $\R^n$.
Exercice 5074. On note $E=\mathcal{C}^1(\R,\R)$ et $n\in\N^*$. Soit $(f_1,\dots,f_n)$ une famille libre de $E$.\\ Montrer par l’absurde que le rang de la famille $(f_1',\dots,f_n')$ est supérieur ou égal à $n-1$.
Exercice 5075. \\
  1. Soient \[ F=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid 2x-y+4z+3t=0\}, \] \[ G=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid y-4z+3t=0\}, \] \[ H=\Vect((-3,1,1,1),(6,2,-1,-2),(3,11,2,-1)). \]
    1. Donner une base de $F\cap G$, puis sa dimension.\\
    2. Montrer que $H\subset F\cap G$.\\
    3. En déduire que $H=F\cap G$.
  2. Déterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel \[ F=\Vect((1,2,-1,1),(-3,-2,3,2),(-1,0,1,1),(2,3,-2,1)). \]
  3. Donner une famille génératrice finie, puis une base, de chacun des sous-espaces vectoriels de $\R^3$ suivants : \[ F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-2y+z=0\}, \qquad G=\{(a,a+b,b)\mid a,b\in\R\}. \]
Exercice 5076. Soit $E=\mathbb{R}[X]$ et $n\in\mathbb{N}$. \\ Pour $k\in \llbracket 0,n\rrbracket$, on pose $P_k=(1+X)^n-2^nX^k$. \\ Quel est le rang de la famille $\mathcal{F}=(P_0,\dots,P_n)$ ?
Exercice 5077. Déterminer le rang des matrices \[ A_n=\left(\sin(i+j)\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}, \] lorsque l'entier $n$ décrit $\mathbb{N}^*$.
Exercice 5078. Soient $n\in\N^*$, puis $z_1,\dots,z_n$ différents dans $\C$ et enfin $P(X)$ un polynôme complexe de degré $n-1$. Montrer que la famille \[ \big(P(X+z_1),\dots,P(X+z_n)\big) \] est une base de $\C_{n-1}[X]$.
Exercice 5079. Soit $n\geqslant1$ un entier, puis $X_1,\dots,X_{n+1}$ des parties non vides de $[1,n]$.\\ Montrer qu’il existe deux parties $I$ et $J$ non vides et disjointes incluses dans $[1,n+1]$, telles que \[ \bigcup_{i\in I}X_i=\bigcup_{j\in J}X_j. \]