Supplémentaires en dimension finie

Exercice 5080. Dans $\R^3$, on pose \[ F=\mathrm{Vect}((1,1,4)), \qquad G=\mathrm{Vect}((0,1,-1)) \] et \[ H=\mathrm{Vect}((4,1,-1),(2,3,0)). \] La somme \[ F+G+H \] est-elle directe ?
Exercice 5081. On considère \[ F=\{(x,y,z) \in \R^3 \mid x-y=0 \ \text{et} \ 2x+y-z=0\}. \]
  1. Donner la dimension de $F$. \\
  2. Déterminer un supplémentaire de $F$ dans $\R^3$.
Exercice 5082. On considère \[ F=\{(x,y,z)\in \R^3 \mid x-y=0 \ \mathrm{et}\ 2x+y-z=0\}. \]
  1. Donner la dimension de $F$. \\
  2. Déterminer un supplémentaire de $F$ dans $\R^3$.
Exercice 5083. Soient $E$ et $F$ deux espaces de dimensions finies, puis $G$ un sous-espace de $E$.\\
  1. Montrer que \[ \mathcal{G}=\{f\in\mathcal{L}(E,F)\mid G\subset\Ker(f)\} \] est un sous-espace de $\mathcal{L}(E,F)$.\\
  2. Calculer $\dim(\mathcal{G})$. On considérera un supplémentaire $H$ de $G$ dans $E$.
Exercice 5084. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $F_1$ et $F_2$ deux sev de $E$ de bases respectives $B_1$ et $B_2$.\\ Montrer que si la famille obtenue par concaténation des bases $B_1$ et $B_2$ est une base de $E$ alors $E=F_1\oplus F_2$.
Exercice 5085. Soient \[ H=\{(x_1,\ldots,x_n)\in K^n\mid x_1+\cdots+x_n=0\} \] et \[ u=(1,\ldots,1)\in K^n. \] Montrer que $H$ et $\mathrm{Vect}(u)$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $K^n$.
Exercice 5086. Soit \[ F=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(0)+f(1)=0\}. \]
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.\\
  2. Déterminer un supplémentaire de $F$ dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 5087. On note $E=\R_5[X]$ et \[ F=\{P\in E\mid P(0)=P(1)=0\} \] et \[ Q=X(X-1). \]
  1. Montrer que $F$ est un sev de $E$.\\
  2. Montrer que la famille $(Q,XQ,X^2Q,X^3Q)$ est libre.\\
  3. Justifier que $\dim(F)=4$ ou $\dim(F)=5$ sans trouver de base de $F$.\\
  4. Donner la dimension de $F$ et déterminer un supplémentaire de $F$ dans $E$.
Exercice 5088. Dans $\R^3$, on considère \[ F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-y+z=0\} \quad\text{et}\quad G=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-y+2z=0\}. \]
  1. Déterminer une base et la dimension de $F$ et $G$.\\
  2. La somme $F+G$ est-elle directe ?\\
  3. Montrer que $F+G=\R^3$.\\
  4. Les sous-espaces $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires ? Quelle est la dimension de $F\cap G$ ?\\
  5. Déterminer un supplémentaire de $F$ dans $\R^3$.
Exercice 5089. Dans $E=\mathbb{K}^n$, on définit \[ G=\left\{(x_1,\ldots,x_n) \in E \mid \Sum_{k=1}^n kx_k=0\right\}. \] Déterminer la dimension de $G$ et un supplémentaire.
Exercice 5090. Soient $n\in\mathbb{N}$ et $A\in K[X]$ un polynôme non nul.\\ Montrer que \[ F=\{P\in K_n[X]\mid A\mid P\} \] est un sous-espace vectoriel de $K_n[X]$ et en déterminer la dimension ainsi qu’un supplémentaire.
Exercice 5091. Soit $E=\R_n[X]$ avec $n\in\N^*$ et \[ F=\left\{P\in E\mid \integrale{0}{1}{P(x)}{x}=0\;\;\mathrm{et}\;\;\integrale{0}{1}{P'(x)}{x}=0\right\}. \]
  1. Vérifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  2. Si $n\geqslant 2$, démontrer que tout $P\in E$ peut s’écrire comme somme d’un élément $Q\in F$ et de $R\in\R_1[X]$.\\
  3. En déduire que pour $n\geqslant 2$ on a \[ E=F\oplus \R_1[X]. \] Calculer la dimension de $F$ ainsi qu’une base de ce sous-espace.
Exercice 5092. Dans $E=\R^n$, on définit \[ G=\left\{(x_1,\dots,x_n)\in E\mid \sum_{k=1}^n kx_k=0\right\}. \] Déterminer la dimension de $G$ et un supplémentaire.
Exercice 5093. Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie et $p_1,\dots,p_m$ des projecteurs de $E$ dont la somme vaut $\mathrm{Id}_E$.\\ On note $F_1,\dots,F_m$ les images de $p_1,\dots,p_m$. Montrer \[ E=\bigoplus_{k=1}^{m}F_k. \]
Exercice 5094. Soient $F,G,H$ trois sev de $E$. On suppose que \[ G\subset H, \qquad F\cap G=F\cap H \qquad\text{et}\qquad F+G=F+H. \]
  1. On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que \[ \dim(G)=\dim(H) \] et en déduire que \[ G=H. \]
  2. Montrer que la conclusion \[ G=H \] est encore vraie si $E$ est de dimension infinie.
Exercice 5095. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant 2$ et $F,G$ deux sous-espaces vectoriels de même dimension. Montrer qu'ils possèdent un supplémentaire commun, c'est-à-dire qu'il existe un sous-espace vectoriel $H$ tel que \[ E=F\oplus H=G\oplus H. \]
Exercice 5096. Soit \[ E=\left\{(x_n)\in\R^\N\mid \forall n\in\N,\;x_{n+3}-x_{n+2}-x_{n+1}+x_n=0\right\}, \] \[ E_1=\left\{(x_n)\in\R^\N\mid \forall n\in\N,\;x_{n+1}+x_n=0\right\}, \] \[ E_2=\left\{(x_n)\in\R^\N\mid \forall n\in\N,\;x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n=0\right\}. \] Montrer que \[ E=E_1\oplus E_2. \] Donner les dimensions des trois espaces \[ E,\;E_1,\;E_2. \]
Exercice 5097. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ avec $n\geqslant 1$, et $F_1,F_2$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $n-1$. \\ Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $G$ de $E$ tel que \[ E=F_1\oplus G=F_2\oplus G \]
Exercice 5098. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, et $A$ et $B$ deux s.e.v de $E$ de même dimension $r$. Montrer que $A$ et $B$ admettent un supplémentaire commun (i.e. il existe un s.e.v $S$ de $E$ tel que $A \oplus S = B \oplus S = E$).
Exercice 5099. Soit $E=\R_n[X]$, avec $n \in \N^*$. \\ On définit \[ F=\left\{P \in E \mid \integrale{0}{1}{P(x)}{x}=\integrale{0}{1}{P'(x)}{x}=0\right\}. \]
  1. Vérifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  2. Si $n \geqslant 2$, démontrer que tout $P \in E$ peut s'écrire comme somme d'un élément $Q \in F$ et de $R \in \R_1[X]$. \\
  3. En déduire que pour $n \geqslant 2$ on a $E=F \oplus \R_1[X]$, calculer la dimension de $F$ ainsi qu'une base de ce sous-espace.
Exercice 5100. Soient $\K$ un sous-corps de $\C$, $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie, et $F_1,F_2$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.\\
  1. On suppose \[ \dim F_1=\dim F_2. \] Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $G$ de $E$ tel que \[ F_1\oplus G=F_2\oplus G=E. \]
  2. On suppose \[ \dim F_1\leqslant \dim F_2. \] Montrer qu’il existe $G_1,G_2$ sous-espaces vectoriels de $E$ tels que \[ F_1\oplus G_1=F_2\oplus G_2=E \qquad \text{et} \qquad G_2\subset G_1. \]
Exercice 5101. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.\\
  1. Soient $H$ et $H'$ deux hyperplans de $E$. Montrer que ceux-ci possèdent un supplémentaire commun.\\
  2. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que \[ \dim F=\dim G. \] Montrer que $F$ et $G$ ont un supplémentaire commun.
Exercice 5102. Soient $n\in\mathbb{N}$, $E=\mathbb{R}_n[X]$.\\ Pour tout $i\in[0;n]\cap\mathbb{N}$, on note \[ F_i=\{P\in E\mid \forall j\in[0;n]\cap\mathbb{N}\setminus\{i\},\; P(j)=0\}. \] Montrer que les $F_i$ sont des sous-espaces vectoriels et que \[ E=F_0\oplus\cdots\oplus F_n. \]
Exercice 5103. Soient $E$ un $\K$-ev de dimension finie et $F_1,F_2$ deux sev de $E$. On suppose que \[ \dim(F_1)\leqslant \dim(F_2). \] Montrer qu’il existe \[ G_2\subset G_1 \] deux sev de $E$ tels que \[ F_1\oplus G_1=F_2\oplus G_2=E. \]

Exercice 5104. X ENS

\\ Soit $K$ un corps infini, $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie. \\
  1. Montrer qu’on ne peut avoir \[ E=V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_N \] où les $V_i$ sont des sous-espaces stricts de $E$. Que se passe-t-il si $K$ est fini ? \\
  2. Montrer que si $F_1,F_2,\ldots,F_p$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ de même dimension finie, il existe $G$ supplémentaire commun à tous les $F_i$.