Théorème du rang
Exercice
5350. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\in \mathbb{N}^*$ et $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant
\[
u^3=0.
\]
Établir
\[
\mathrm{rg}(u)+\mathrm{rg}(u^2)\leqslant n.
\]
Exercice
5351. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\
Établir que
\[
\dim(\ker(g\circ f))\leqslant \dim(\ker g)+\dim(\ker f).
\]
Exercice
5352. Soient $f\in \mathcal{L}(E)$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer
\[
\dim(\ker f\cap F)\geqslant \dim F-\mathrm{rg}(f).
\]
Exercice
5353. Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension $n$. Montrer que
\[
(\mathrm{Id},f,f^2,\dots,f^{n^2})
\]
est liée et en déduire qu'il existe un polynôme non identiquement nul qui annule $f$.
Exercice
5354. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E)$ où $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer
\[
|\mathrm{rg}(f)-\mathrm{rg}(g)|\leqslant \mathrm{rg}(f+g)\leqslant \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g).
\]
Exercice
5355. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\in \mathbb{N}$.\\
Montrer qu'il existe un endomorphisme $f$ tel que
\[
\mathrm{Im}(f)=\ker(f)
\]
si, et seulement si, $n$ est pair.
Exercice
5356. Soit $f$ un endomorphisme de $\R^3$ nilpotent d'ordre $3$, i.e. tel que $f^3=0$ et $f^2 \neq 0$.\\
Montrer :\\
\[
\ker(f^2)=\mathrm{Im}(f),\quad \mathrm{Im}(f^2)=\ker(f),\quad \mathrm{rg}(f)=2,\quad \mathrm{rg}(f^2)=1.
\]
Exercice
5357. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. \\
Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes : \\
(i) il existe $f\in\mathcal{L}(E)$ tel que $\ker f=\mathrm{Im} f$, \\
(ii) $\dim E$ est paire.
Exercice
5358. Soient $E$ un $\K$-ev de dimension finie, $n=\dim(E)$, $f \in \Lc(E)$.\\
Montrer :\\
\[
\ker(f)=\mathrm{Im}(f)\Longleftrightarrow \Bigl(f^2=0\;\mathrm{et}\;n=2\mathrm{rg}(f)\Bigr).
\]
Exercice
5359. Soit $f$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie vérifiant
\[
\mathrm{rg}(f^2)=\mathrm{rg}(f).
\]
- Établir \[ \mathrm{Im}(f^2)=\mathrm{Im}(f) \quad \text{et} \quad \ker(f^2)=\ker(f). \]
- Montrer \[ \ker(f)\oplus \mathrm{Im}(f)=E. \]
Exercice
5360. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$. Montrer que :\\
- \[ \mathrm{rg}(f\circ g)\leqslant \min(\mathrm{rg}(f),\mathrm{rg}(g)). \]
- \[ \mathrm{rg}(f\circ g)\geqslant \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)-\dim E. \]
Exercice
5361. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$ tels que $f+g$ soit bijectif et
\[
g\circ f=0.
\]
Montrer que
\[
\mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)=\dim E.
\]
Exercice
5362. Soient $v\in \mathcal{L}(E,F)$ et $u\in \mathcal{L}(F,G)$. Établir
\[
\mathrm{rg}(u)+\mathrm{rg}(v)-\dim F\leqslant \mathrm{rg}(u\circ v)\leqslant \min(\mathrm{rg}(u),\mathrm{rg}(v)).
\]
Exercice
5363. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\
Montrer que
\[
\mathrm{rg}(f+g)\leqslant \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)
\]
puis que
\[
|\mathrm{rg}(f)-\mathrm{rg}(g)|\leqslant \mathrm{rg}(f-g).
\]
Exercice
5364. Soient $E_0,\ldots,E_n$ des espaces vectoriels de dimensions finies respectives $a_0,\ldots,a_n \in \mathbb{N}^*$. On suppose qu’il existe des applications $f_0,\ldots,f_{n-1}$ telles que :\\
- Pour tout $k \in \{0,\ldots,n-1\}$, $f_k \in \mathcal{L}(E_k,E_{k+1})$.\\
- $f_0$ est injective et $f_{n-1}$ est surjective.\\
- Pour tout $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, $\ker(f_k)=\mathrm{Im}(f_{k-1})$.\\
Exercice
5365. Soit $E$ un $K$-e.v de dimension finie, soit $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer l’équivalence
\[
\big(E=\mathrm{Im}(f)\oplus \ker(f)\big)
\iff
\big(\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(f^2)\big).
\]
Cette équivalence reste-t-elle vraie en dimension infinie ?
Exercice
5366. Soient $f$ et $g$ des endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.\\
- Donner le théorème du rang.\\
- On suppose que $g \circ f = 0$. Montrer que $\mathrm{rg}(f) + \mathrm{rg}(g) \leq n$.\\
- On suppose que $f + g$ est bijectif. Montrer que $\mathrm{rg}(f) + \mathrm{rg}(g) \geq n$.
Exercice
5367. Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-ev de dimension finie, $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,G)$.\\
- Montrer : $\ker(g_{\mid \mathrm{Im}(f)})=\ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)$.\\
- En déduire : $\mathrm{rg}(g \circ f)=\mathrm{rg}(f)-\dim\bigl(\ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)\bigr)$.\\
- Montrer : $\mathrm{rg}(g \circ f)\geqslant \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)-\dim(F)$.
Exercice
5368. Soient $f$ et $g$ dans $\mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie. Montrer les inégalités :\\
\[
\dim(\Ker(g\circ f))\leqslant\dim(\Ker(f))+\dim(\Ker(g))
\]
\[
\mathrm{Rg}(g\circ f)=\mathrm{Rg}(f)-\dim(\mathrm{Im}(f)\cap\Ker(g))
\]
\[
\mathrm{Rg}(f)+\mathrm{Rg}(g)-\dim(E)\leqslant \mathrm{Rg}(g\circ f)\leqslant \min(\mathrm{Rg}(f),\mathrm{Rg}(g))
\]
Exercice
5369. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$.\\
Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que
\[
E=\mathrm{Im}(u)+\mathrm{Im}(v)=\ker(u)+\ker(v).
\]
Établir que d'une part $\mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{Im}(v)$, d'autre part $\ker(u)$ et $\ker(v)$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice
5370. Soit $f\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^6)$ tel que
\[
\mathrm{rg}(f^2)=3.
\]
Quels sont les rangs possibles pour $f$ ?
Exercice
5371. Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies et
\[
f\in \mathcal{L}(F,E),\quad g\in \mathcal{L}(E,F)
\]
telles que
\[
g\circ f\circ g=f
\quad \text{et} \quad
g\circ f\circ g=g.
\]
Montrer que $f$, $g$, $f\circ g$ et $g\circ f$ ont même rang.
Exercice
5372. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$. \\
Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : \\
(i) $E=\mathrm{Im} f\oplus \Ker f$, \\
(ii) $E=\mathrm{Im} f+\Ker f$, \\
(iii) $\mathrm{Im} f=\mathrm{Im} f^2$, \\
(iv) $\Ker f=\Ker f^2$.
Exercice
5373. Soient $A\in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ et $B\in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ telles que :
\[
AB=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Montrer que $BA=I_2$.
Exercice
5374. Soient $E,F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies et $f,g\in \mathcal{L}(E,F)$.\\
Montrer
\[
\mathrm{rg}(f+g)=\mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)
\iff
\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{Im}(f)\cap \mathrm{Im}(g)=\{0\}\\
\ker(f)+\ker(g)=E
\end{array}
\right.
\]
Exercice
5375. Soient $E,F,G,H$ des $K$-espaces vectoriels de dimensions finies et
\[
f\in \mathcal{L}(E,F),\quad g\in \mathcal{L}(F,G),\quad h\in \mathcal{L}(G,H).
\]
Montrer
\[
\mathrm{rg}(g\circ f)+\mathrm{rg}(h\circ g)\leqslant \mathrm{rg}(g)+\mathrm{rg}(h\circ g\circ f).
\]
Exercice
5376. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\
Soit $H$ un supplémentaire de $\ker f$ dans $E$.\\
On considère $h : H\to E$ la restriction de $g\circ f$ à $H$.\\
- Montrer que $\ker(g\circ f)=\ker h+\ker f$. \\
- Observer que $\mathrm{rg}(h)\geqslant \mathrm{rg}(f)-\dim \ker g$. \\
- En déduire que $\dim \ker(g\circ f)\leqslant \dim \ker g+\dim \ker f$.
Exercice
5377. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p$.\\
On note
\[
A_F=\{f\in \mathcal{L}(E)\mid \mathrm{Im}(f)\subset F\}
\quad \text{et} \quad
B_F=\{f\in \mathcal{L}(E)\mid F\subset \ker(f)\}.
\]
- Montrer que $A_F$ et $B_F$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E)$ et calculer leurs dimensions.\\
- Soit $u$ un endomorphisme de $E$ et \[ \varphi : \mathcal{L}(E)\to \mathcal{L}(E),\quad f\mapsto u\circ f. \] Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathcal{L}(E)$. Déterminer \[ \dim \ker(\varphi). \]
- Soit \[ v\in \mathrm{Im}(\varphi). \] Établir \[ \mathrm{Im}(v)\subset \mathrm{Im}(u). \] Réciproque ? Déterminer \[ \mathrm{rg}(\varphi). \]
Exercice 5378. X ENS
\\ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$, $a$ et $b$ deux endomorphismes de $E$. \\- Comparer $\mathrm{rg}(a+b)$ à $\mathrm{rg}(a)+\mathrm{rg}(b)$ et $\mathrm{rg}(a)-\mathrm{rg}(b)$. \\
- Prouver l’équivalence \[ \mathrm{rg}(a+b)=\mathrm{rg}(a)+\mathrm{rg}(b) \Longleftrightarrow \mathrm{Im}\, a \cap \mathrm{Im}\, b=\{0\} \quad \text{et} \quad \ker a+\ker b=E. \]
- Montrer que \[ \mathrm{rg}(a)+\mathrm{rg}(b)-n \leqslant \mathrm{rg}(a \circ b) \leqslant \min(\mathrm{rg}(a),\mathrm{rg}(b)). \]