Sous-espaces affines
Exercice
5105. À quelle condition simple le sous-espace affine
\[
V=\vec{a}+F
\]
est-il un sous-espace vectoriel ?
Exercice
5106. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $g \in C^\infty(\mathbb{R})$. \\
- Montrer que $H = \{ f \in C^\infty(\mathbb{R}) \mid f^{(n)} = g \}$ est un sous-espace affine de $C^\infty(\mathbb{R})$. Donner son espace directeur et sa dimension. \\
- Soit $A$ un $K$-espace affine de direction $E$ et $F$ une partie de $A$. On suppose que $\{ \overrightarrow{MN} \mid M,N \in F \}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. $F$ est-il un sous-espace affine de $A$ ?
Exercice
5107. Soient
\[
V=\vec{a}+F \quad \mathrm{et} \quad W=\vec{b}+G
\]
deux sous-espaces affines d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$.\\
Montrer que
\[
V\cap W\neq \varnothing \iff \vec{b}-\vec{a}\in F+G.
\]