Matrices et coordonnées d'un vecteur dans une base

Exercice 5548. Calculer la matrice du vecteur $P=X^3-3X^2+5X-2$ de $\R_3[X]$ dans la base $(1,(X+2),(X+2)^2,(X+2)^3)$.
Exercice 5549. On considère dans $\R^3$ les vecteurs $u=(1,2,3)$ et $v=(3,2,1)$. \\
  1. La famille $(u,v)$ est-elle une base de $\R^3$ ? \\
  2. Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel $F=\mathrm{Vect}(u,v)$ ? \\
  3. Le vecteur $x=(1,4,7)$ appartient-il à $F$ ? Si oui, quelles sont ses coordonnées dans la base $(u,v)$ de $F$ ? \\
  4. Même question avec $y=(-1,6,9)$.
Exercice 5550. Dans $M_{2,2}(\mathbb{R})$, on considère les $4$ matrices : \[ A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \]
  1. Montrer que $(A,B,C,D)$ est une base de $M_{2,2}(\mathbb{R})$.\\
  2. Déterminer les coordonnées de \[ M=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \] dans cette base.\\
  3. Écrire la matrice des coordonnées de $M$ dans cette base et dans la base canonique de $M_{2,2}(\mathbb{R})$.
Exercice 5551. Soit $E=\R_4[X]$ et $P_1=X+1$, $P_2=X^2-2X+1$, $P_3=X^4-X^3+3X^2+2$. \\
  1. Montrer que la famille $\{P_1,P_2,P_3\}$ peut être complétée en une base de $E$. Compléter alors cette famille en une base. \\
  2. Exprimer le polynôme $Q=X^3+2X^2-4X+2$ dans la nouvelle base.
Exercice 5552. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $3$ et $(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$. \\
  1. Montrer que $(e_1,e_1+e_2,e_1+3e_2+4e_3)$ est une base de $E$. \\
  2. Soit $P\in GL_3(\mathbb{K})$, et on pose $v_1,v_2,v_3\in E$ tels que \[ P \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}. \] Montrer que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base de $E$.
Exercice 5553.
  1. Montrer que $E=\{P\in\mathbb{R}_4[X]\mid P(2)=0\}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\
  2. Donner une base de $E$.\\
  3. Vérifier que $P=X^4-4X^3+3X^2+4X-4$ appartient à $E$, puis décomposer $P$ dans la base de la question précédente.
Exercice 5554. On note $M_3(\mathbb{R})$ l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre $3$ à coefficients réels.\\ On considère le sous-ensemble $S_3(\mathbb{R})$ des matrices symétriques de $M_3(\mathbb{R})$.\\
  1. Montrer que $S_3(\mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\mathbb{R})$.\\
  2. Écrire les conditions vérifiées par les coefficients d’une matrice \[ M= \begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{pmatrix} \] pour qu’elle soit symétrique.\\
  3. En déduire une base de $S_3(\mathbb{R})$.\\
  4. Écrire les coordonnées de la matrice symétrique \[ M= \begin{pmatrix} -1&2&3\\ 2&0&4\\ 3&4&4 \end{pmatrix} \] dans cette base.
Exercice 5555.
  1. Montrer que $\big((-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)\big)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. Déterminer les coordonnées de $(8,4,2)$ dans cette base.\\
  2. Montrer que $\big((X-1)^2,X^2,(X+1)^2\big)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$. Déterminer les coordonnées de $X^2+X+1$ dans cette base.
Exercice 5556. Écrire la matrice coordonnée du vecteur $X^2+2X-1$ de $\mathbb{R}_2[X]$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_2[X]$ et dans la base \[ \mathcal{B}=(1,X-2,(X-2)^2). \] On commencera par justifier que $\mathcal{B}$ est bien une base.
Exercice 5557. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel muni d’une base $e=(e_1,\dots,e_n)$.\\ Pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, on pose \[ \varepsilon_i=e_1+\dots+e_i. \]
  1. Montrer que $\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)$ est une base de $E$.\\
  2. Exprimer les composantes dans $\varepsilon$ d’un vecteur en fonction de ses composantes dans $e$.
Exercice 5558. Soient les matrices \[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}, \quad A= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}. \] On étudie l’ensemble \[ F=\{M\in M_3(\mathbb{R})\mid AM=MA\}. \]
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\mathbb{R})$.\\
  2. Vérifier que $A^2\in F$.\\
  3. Donner un script Scilab qui affiche $A$ et calcule $A^2$.\\
  4. Soit \[ M= \begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{pmatrix} \] une matrice de $M_3(\mathbb{R})$. Calculer $AM$ et $MA$.\\
  5. Montrer que \[ F= \left\{ \begin{pmatrix} a&b&c\\ b&a+c&b\\ c&b&a \end{pmatrix} \mid (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \right\}. \]
  6. En déduire une base de $F$.\\
  7. Calculer la matrice des coordonnées de $A^2$ dans cette base.
Exercice 5559. Soit $n\in\N$.\\
  1. Montrer qu’il existe un seul polynôme $P_n(X)\in\R[X]$ tel que \[ P_n(X)+P_n(X+1)=2X^n. \]
  2. Trouver une formule entre $P_{n+1}(X)$ et $P_n(X)$.\\
    1. Montrer que la famille $(P_k)_{k\in\N}$ forme une base de $\R[X]$.\\
    2. Montrer que pour tout $Q(X)\in\R[X]$, on a \[ Q(X+1)=\sum_{k=0}^{+\infty}\Frac{Q^{(k)}(X)}{k!}. \]
    3. Donner la décomposition de $P_n(X+1)$ dans la base $(P_k)_{k\in\N}$.
  4. Montrer que \[ P_n(1-X)=(-1)^nP_n(X). \]