Applications linéaires

Exercice 6534. ESCP 2016

On note $\R[X]$ l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier naturel $n$, $\R_n[X]$ désigne l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$.\\ On pose \[ S_0=1 \] et, pour tout entier $k\geqslant 1$, \[ S_k(X)=\Prod_{i=0}^{k-1}(X-i). \]
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la famille $(S_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ est une famille libre de $\R[X]$.\\
    2. Soit $m\in \N$.\\ Prouver que pour tout polynôme $P\in \R_m[X]$, il existe un unique $(m+1)$-uplet $(a_k)_{0\leqslant k\leqslant m}$ de réels tel que \[ P=\Sum_{k=0}^{m}a_kS_k. \]
    1. Pour tous entiers naturels $n$ et $k$, calculer $S_k(n)$.\\
    2. Soit $P\in \R_m[X]$ écrit dans la base $(S_k)_{0\leqslant k\leqslant m}$ sous la forme \[ P=\Sum_{k=0}^{m}a_kS_k. \]
      1. Démontrer que pour tout entier $N\geqslant m$, \[ \Sum_{n=0}^{N}\dfrac{P(n)}{n!} = \Sum_{k=0}^{m}a_k\Sum_{n=k}^{N}\dfrac{1}{(n-k)!}. \]
      2. En déduire que la série \[ \Sum_{n\geqslant 0}\dfrac{P(n)}{n!} \] converge et calculer sa somme en fonction des $a_k$.
    3. Soit $p\in \N^*$.\\ Justifier la convergence de la série \[ \Sum_{n\geqslant 0}\dfrac{n^2(n-1)(n-2)\dots(n-p+1)}{n!} \] et calculer sa somme.

Exercice 6535. QSP HEC 2015

Soit \[ E=\R_3[X] \] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $3$.\\ On pose \[ F=\{P\in E\;,\;P(0)=P(1)=P(2)=0\}, \] \[ G=\{P\in E\;,\;P(1)=P(2)=P(3)=0\} \] et \[ H=\{P\in E\;,\;P(X)=P(-X)\}. \] Montrer que \[ E=F\oplus G\oplus H. \]

Exercice 6536. QSP HEC 2017

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\R$, $p$ un projecteur de $E$ et $u\in \mathcal{L}(E)$.\\ Montrer que $p$ et $u$ commutent si et seulement si $\ker(p)$ et $\mathrm{Im}(p)$ sont stables par $u$.

Exercice 6537. QSP HEC 2016

Soit $n\geqslant 2$ et soit $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal{M}_n(\R)$ définie par \[ \forall (i,j)\in \llbracket 1,n \rrbracket^2,\quad m_{i,j}=i^{j-1}. \] Montrer que $M$ est inversible.

Exercice 6538. QSP ESCP 2018

On note $(E_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\R)$.\\ On rappelle que $E_{i,j}$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne, qui vaut $1$.\\
  1. Soient $(i,j)\in \llbracket 1,n \rrbracket^2$ avec $i\neq j$.\\ Calculer \[ (E_{i,i}+E_{i,j})^2. \]
  2. En déduire une base de $\mathcal{M}_n(\R)$ formée de matrices de projecteurs.

Exercice 6539. ESCP 2012

Dans tout cet exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul et $(a_1,\dots,a_n)$ une famille de réels deux à deux distincts.\\ Pour tous $(i,j)\in\N^2$, on note \[ \delta_{i,j}= \begin{cases} 1 & \mathrm{si}\ i=j \\ 0 & \mathrm{si}\ i\neq j \end{cases} \]
    1. Soit $i\in \llbracket 1,n \rrbracket$. Montrer qu’il existe un unique polynôme $L_i\in \R_{n-1}[X]$ tel que \[ \forall j\in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad L_i(a_j)=\delta_{i,j}. \]
    2. Montrer que la famille $(L_i)_{i\in \llbracket 1,n \rrbracket}$ est une base de $\R_{n-1}[X]$.
  2. Soit \[ \pi:\R[X]\to \R[X] \] définie par \[ \forall P\in \R[X],\quad \pi(P)=\Sum_{i=1}^{n}P(a_i)L_i. \]
    1. Montrer que $\pi$ est un projecteur de $\R[X]$.\\
    2. Déterminer le noyau et l’image de $\pi$.\\
    3. On note \[ F=\left\{Q\Prod_{i=1}^{n}(X-a_i)\;,\;Q\in \R[X]\right\}. \] Montrer que \[ F\oplus \R_{n-1}[X]=\R[X]. \]
    4. Soit $P\in \R_{n-1}[X]$. Déterminer les coordonnées de $P$ dans la base $(L_i)_{i\in \llbracket 1,n \rrbracket}$.
  3. Soit \[ \varepsilon:\R_{n-1}[X]\to \R^n,\quad P\mapsto (P(a_i))_{i\in \llbracket 1,n \rrbracket}. \]
    1. Montrer que $\varepsilon$ est un isomorphisme.\\
    2. Soit $f\in \mathcal{F}(\R,\R)$. Montrer qu’il existe un unique polynôme $P\in \R_{n-1}[X]$ tel que \[ \forall i\in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad P(a_i)=f(a_i). \]
  4. Soient $a,b\in \R$ tels que $a < b$.\\ Soient $f\in \mathcal{C}^n([a,b],\R)$, $a_1,\dots,a_n$ tels que \[ a\leqslant a_1 < \dots < a_n\leqslant b \] et $P$ le polynôme d’interpolation de Lagrange associé à $f$ aux points $(a_1,\dots,a_n)$.\\
    1. Soit $x\in [a,b]\setminus \{a_1,\dots,a_n\}$ et $K\in \R$.\\ On définit \[ \varphi:[a,b]\to \R,\quad t\mapsto f(t)-P(t)-K\Prod_{i=1}^{n}(t-a_i). \] Montrer qu’il existe $K$ tel que \[ \varphi(x)=0. \]
    2. Montrer que pour cette valeur de $K$, il existe $\zeta\in [a,b]$ tel que \[ \varphi^{(n)}(\zeta)=0. \]
    3. Montrer que pour tout $x\in [a,b]$, \[ |f(x)-P(x)|\leqslant \dfrac{\Prod_{i=1}^{n}|x-a_i|}{n!}\sup_{t\in [a,b]}|f^{(n)}(t)|. \]

Exercice 6540. ESCP 2009

Soit $n\geqslant 2$.\\ On considère la matrice $J\in \mathcal{M}_n(\R)$ dont tous les coefficients valent $1$.\\ Soit \[ \mathcal{E}= \left\{ A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R) \;,\; \exists \alpha\in \R,\quad \forall (i,j)\in \llbracket 1,n \rrbracket^2, \quad \alpha=\Sum_{k=1}^{n}a_{i,k}=\Sum_{k=1}^{n}a_{k,j} \right\}. \]
  1. Montrer que $\mathcal{E}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$.\\
  2. Montrer que l’application \[ d:\mathcal{E}\to \R,\quad A\mapsto \Sum_{k=1}^{n}a_{1,k} \] est une application linéaire surjective non injective.\\
    1. Soit $A\in \mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que \[ A\in \mathcal{E} \iff \exists \lambda\in \R,\quad AJ=JA=\lambda J. \]
    2. Soient $A,B\in \mathcal{E}$. Montrer que \[ AB\in \mathcal{E} \] et calculer $d(AB)$.\\
    3. Soit $A\in \mathcal{E}$ inversible. Montrer que \[ A^{-1}\in \mathcal{E} \] et exprimer $d(A^{-1})$ en fonction de $d(A)$.
  4. Montrer que $\ker(d)$ et $\Vect(J)$ sont supplémentaires dans $\mathcal{E}$.\\
  5. Pour $(r,s)\in \llbracket 2,n \rrbracket^2$, on note $A_{r,s}$ la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf \[ a_{1,1}=a_{r,s}=1 \quad\text{et}\quad a_{1,s}=a_{r,1}=-1. \]
    1. Montrer que \[ (A_{r,s})_{2\leqslant r,s\leqslant n} \] est une famille libre de $\ker(d)$.\\
    2. Montrer qu’elle engendre $\ker(d)$.\\
    3. En déduire une base et la dimension de $\mathcal{E}$.
  6. Soit $p\in \N^*$ et $A\in \mathcal{E}$.\\ Montrer que \[ B=\dfrac{d(A)}{n}J \] vérifie \[ A^p-B^p=(A-B)^p. \]
Exercice 6541. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$.\\ Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$, de dimension $n^2-1$, stable par la multiplication matricielle : \[ \forall (M,M')\in F^2,\quad MM'\in F. \] On suppose que $I_n\notin F$, où $I_n$ désigne la matrice identité de $\mathcal{M}_n(\R)$.\\
  1. Montrer que $\mathcal{M}_n(\R)=F\oplus \Vect(I_n)$.\\
    1. Soit $p$ le projecteur de $\mathcal{M}_n(\R)$ sur $\Vect(I_n)$ parallèlement à $F$.\\ Montrer que \[ \forall (M,M')\in \mathcal{M}_n(\R)^2,\quad p(MM')=p(M)p(M'). \]
    2. Montrer que toute matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $M^2\in F$ vérifie $M\in F$.\\
    3. Soit $(E_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\R)$.\\ Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$ pour $(i,j,k,\ell)\in \llbracket 1,n \rrbracket^4$.\\
    4. Montrer que $F$ contient la base canonique de $\mathcal{M}_n(\R)$.\\
    5. Conclure.