Matrices et applications linéaires

Exercice 6542. Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. \\ Montrer que $A$ est inversible si et seulement s'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tel que \[ AB = I_n. \]
Exercice 6543. Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $f \neq 0$ et $f^2=0$. \\ Montrer qu'il existe une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Exercice 6544. Soient $A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ tels que \[ AB= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Montrer que $BA=I_2$.
Exercice 6545. Soit $n\in\mathbb{N}^*\setminus\{1\}$ et $E=\mathbb{R}_n[X]$. \\ On définit $u:E\to E$ par \[ u(P)=Q \] où, pour tout $x\in\mathbb{R}$, \[ Q(x)=P(x+1). \]
  1. Montrer que $u\in\mathcal{L}(E)$. \\
  2. Donner la matrice de $u$, notée $A$, dans la base canonique de $E$. \\
  3. Expliciter $A^2$. \\
  4. Montrer que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$.
Exercice 6546.
  • Soit $n\in\mathbb{N}^*\setminus\{1\}$. \\ On définit \[ \psi:\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \] par \[ \forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\quad \psi(M)=M-\mathrm{tr}(M)I_n. \]
    1. Montrer que $\psi$ est linéaire. \\
    2. Déterminer $\ker(\psi)$. \\
    3. Montrer que $\psi$ est bijective et donner $\psi^{-1}$.
    • Exercice 6547. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $f,g\in\mathcal{L}(E)$ tels que \[ g\circ f=\mathrm{id}_E. \] Montrer que \[ E=\mathrm{Im}(f)\oplus\ker(g). \]

    Exercice 6548. QSP ESCP 2012

    Soient $\lambda,\mu$ deux réels avec $\lambda\neq 0$.\\ On considère la suite $(P_n)$ de polynômes définie par $P_0\in \R_2[X]$ et, pour tout $n\in \N$, $P_{n+1}=\lambda P_n+\mu P_n'$.\\
    1. Montrer que $(P_n)$ est une suite d’éléments de $\R_2[X]$.\\
    2. Soit $n\in \N$ fixé et $Q\in \R_2[X]$. Existe-t-il $P_0\in \R_2[X]$ tel que $P_n=Q$ ?

    Exercice 6549. QSP HEC 2016

    Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $\R^3$ et soit \[ \mathcal{B}'=(e_1+e_2,2e_2+e_3,3e_3). \]
    1. Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\R^3$.\\
    2. Déterminer les coordonnées dans la base $\mathcal{B}'$ du vecteur \[ u=2e_1+3e_2+e_3. \]
    3. Existe-t-il un vecteur non nul de $\R^3$ ayant les mêmes coordonnées dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ ?
    Exercice 6550. Soit $n\in\mathbb{N}^*\setminus\{1\}$ et soient $x_1,\dots,x_n$ des réels deux à deux distincts. \\ On pose \[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}). \] Montrer que $A$ est inversible.
    Exercice 6551. On note $E=C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. \\
    1. Montrer que pour tout $f\in E$ et tout $x\in\mathbb{R}$, l'intégrale \[ \integrale{0}{1}{f(x+t)e^t}{t} \] existe. \\
    2. On pose $g(x)=\integrale{0}{1}{f(x+t)e^t}{t}$. Montrer que $g$ est de classe $C^1$ et que \[ \forall x\in\mathbb{R},\quad g'(x)=e f(x+1)-f(x)-g(x). \]
    3. Soit $\Phi(f)=g$. \\ Soit $n\geqslant 2$ et $F_n=\mathrm{Vect}(f_0,\dots,f_n)$ avec $f_k:x\mapsto e^{-kx}$. \\
      1. Montrer que $\dim(F_n)=n+1$. \\
      2. Montrer que $\Phi_n(f_k)\in F_n$. \\
      3. Montrer que $\Phi_n$ est un endomorphisme de $F_n$. \\
      4. Déterminer $M=\mathrm{Mat}_B(\Phi_n)$. \\
      5. Montrer que $(\Phi_n(f_0),\dots,\Phi_n(f_n))$ est une base de $F_n$.
    Exercice 6552. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$. \\ Soient $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ avec $\alpha\neq\beta$. \\ On suppose \[ (f-\alpha \mathrm{id}_E)\circ(f-\beta \mathrm{id}_E)=0. \]
    1. Montrer que \[ E=\mathrm{Im}(f-\alpha \mathrm{id}_E)\oplus \mathrm{Im}(f-\beta \mathrm{id}_E). \]
    2. Montrer que \[ E=\ker(f-\alpha \mathrm{id}_E)\oplus \ker(f-\beta \mathrm{id}_E). \]
    3. Déterminer le projecteur sur $\ker(f-\alpha \mathrm{id}_E)$ parallèlement à $\ker(f-\beta \mathrm{id}_E)$.

    Exercice 6553. ESCP 2016

    Soient $(u_n)_{n\in \N}$ et $(v_n)_{n\in \N}$ deux suites réelles telles que \[ \forall n\in \N,\quad u_n=\Sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}v_i. \]
      1. Déterminer une matrice $P\in \mathcal{M}_{n+1}(\R)$ telle que \[ (u_0,\dots,u_n)=(v_0,\dots,v_n)P. \]
      2. On note $\R_n[X]$ l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, $\mathcal{B}_0=(1,X,\dots,X^n)$ sa base canonique et \[ \mathcal{B}_1=(1,1+X,\dots,(1+X)^n). \] Montrer que $\mathcal{B}_1$ est une base de $\R_n[X]$.\\ En déduire que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.
      3. En déduire que \[ \forall n\in \N,\quad v_n=\Sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{n-i}u_i. \]
    2. On rappelle qu’une permutation de $\llbracket 1,n \rrbracket$ est une bijection de $\llbracket 1,n \rrbracket$ dans lui-même.\\ On note $d_n$ le nombre de permutations de $\llbracket 1,n \rrbracket$ sans point fixe, avec $d_0=1$.\\
      1. Montrer que \[ n!=\Sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}d_j. \]
      2. En déduire que \[ d_n=\Sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{n-i}i!. \]
      3. Soit $(a_n)$ définie par \[ a_0=1 \] et \[ \forall n\in \N,\quad a_{n+1}=(n+1)a_n+(-1)^{n+1}. \] Montrer que \[ \forall n\in \N,\quad a_n=d_n. \]
    3. Pour tout $n\in \N$, on pose \[ J_n=\integrale{0}{1}{x^ne^x}{x}. \]
      1. Montrer que \[ \forall n\in \N,\quad \forall x\in \R,\quad e^x=\Sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!} +\integrale{0}{x}{\dfrac{(x-t)^n}{n!}e^t}{t}. \]
      2. Montrer que \[ d_n=\dfrac{n!}{e}+(-1)^nJ_n. \]
      3. Montrer que \[ J_n\sim \dfrac{e}{n}. \] En déduire un équivalent de $d_n$.\\
      4. Déterminer la nature de la série de terme général \[ \dfrac{(n-1)!}{e}-\dfrac{d_n}{n}. \]