Exercices sur les Intégrales

Exercice 1021. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose \[ I_n=\Frac{1}{2^{n+1}n!}\integrale{0}{1}{(1-t)^n e^{\frac{t}{2}}}{t}. \]

1. Déterminer une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$. \\
2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie par \[ u_n=\Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{2^k k!}. \]

Exercice 1022. On définit, pour tout $t > 0$, \[ f(t)=\left(\Frac{\ln t}{t}\right)^2. \] Pour tout $x > 0$, on pose \[ F(x)=\integrale{x}{2x}{f(t)}{t}. \]

1. Étudier la fonction $f$ sur $]0,+\infty[$. \\
2. Déterminer les limites de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ et lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \\
3. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$, puis en déduire une expression explicite de $F(x)$. \\
4. Étudier les variations de $F$ sur $]0,+\infty[$. \\
5. Dresser le tableau de variations de $F$.