Exercices divers - Maths Manager

Exercice 9675. Dans une population donnée, 15\% des individus ont une maladie $M_a$. Parmi les individus atteints de la maladie $M_a$, 20\% ont une maladie $M_b$ et parmi les individus non atteints de la maladie $M_a$, 4\% ont la maladie $M_b$. \\ On examine au hasard un individu de cette population et on considère les événements :

$A$ : "l'individu est atteint de la maladie $M_a$"
$B$ : "l'individu est atteint de la maladie $M_b$"

Quelle est la probabilité qu'un individu ne soit pas malade ?
Calculer la probabilité de l'événement $B$.
En déduire la probabilité qu'un individu soit atteint de la maladie $M_a$ sachant qu'il est atteint de la maladie $M_b$.

Exercice 9676. Soient $A$, $B$ et $C$ trois événements non vides d'un ensemble $\Omega$ d'issues possibles sur lequel est défini une loi de probabilité $P$. \\ Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $A$ et $B$ sont indépendants.
$P_{\bar{A}}(B) + P_{A}(B) = 1$.\\ \ding{43} On pourra utiliser l'expérience suivante : on lance un dé à 6 faces équilibré et considérer deux événements $A$ et $B$ bien choisis.

Exercice 9677. Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. \\ Nous proposons l'expérience suivante : \\ On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et une face blanche. Si la face blanche est obtenue, on ajoute une boule blanche dans l'urne, sinon on ajoute une boule noire dans l'urne. \\ On prélève ensuite, au hasard et sans remise, deux boules dans cette urne. \\ On note :

$E_0$ l'événement : "aucune boule blanche ne figure parmi les deux boules tirées"
$B$ l'événement : "le jeton présente la face blanche"

Calculer la probabilité de $E_0$.
On prélève deux boules dans l'urne, aucune boule blanche ne figure dans ce tirage. Quelle est la probabilité que le jeton présente la face noire ?
On note $E_1$ l'événement : "une boule blanche et une seule figure parmi les 2 boules tirées ". \\ On note $E_2$ l'événement : "aucune boule noire ne figure parmi les 2 boules tirées".
1. Justifier que $\{E_0, E_1, E_2\}$ forment une partition de l'ensemble des tirages successifs, sans remise de deux boules dans cette urne. \\ On admet que \[ E_1 = \bar{E_0 \cup E_2} \]
2. Montrer que \[ P(E_1) = 1 - (P(E_1)+P(E_2)) \]
3. Calculer $P(E_2)$.
4. En déduire que \[ P(E_1) = \Frac{1}{2} \]

Exercice 9678. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. \\ On considère deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant chacune $n$ boules blanches et $n$ boules noires. On jette un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.

si le résultat du jet est pair, on prélève au hasard successivement, avec remise, deux boules dans l'urne $U_1$.
si le résultat est impair, on prélève au hasard successivement, sans remise, deux boules dans l'urne $U_2$.

On désigne par :

$B$ l'événement : "le résultat du jet est pair",
$p_n$ la probabilité de l'événement $N$ : "obtenir deux boules noires".

Justifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, \[ p_n = \Frac{4n-3}{8(2n-1)}\] En déduire que, pour tout $n \geqslant 2$, \[p_n < \Frac{1}{4} \] Quelle est la limite du réel $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
Est-il exact que $P_N(B) = P_N(\bar{B})$ ? \\ Que peut-on dire de cette égalité lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Exercice 9679. Une urne contient trois pièces équilibrées. Deux d'entre elles sont normales : elle possèdent une face PILE et une face FACE. La troisième, truquée, possède deux faces FACE. \\ Une pièce est choisie au hasard dans l'urne et de manière indépendante, des lancers successifs de cette pièce sont effectués. \\ On considère les événements suivants :

$B$ : "la pièce prise est normale",
$F_n$ : "la face FACE est obtenue pour chacun des $n$ premiers lancers" avec $n \geqslant 1$.

La probabilité de l'événement $F_n$ est notée $p_n$. Justifier que \[ p_n = \Frac{1}{3}\parenthese{1+\parenthese{\Frac{1}{2}}^{n-1}} \] Quelle est la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
Sachant que l'on a obtenu PILE pour les $n$ premiers lancers, quelle est la probabilité $q_n$ d'avoir pris une pièce normale ?

Exercice 9680. Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.

On effectue au hasard, dans cette urne, un tirage successif sans remise de deux boules. On note
- $A_0$ l'événement : "aucune boule noire n'est obtenue",
- $A_1$ l'événement : "une seule boule noire est obtenue",
- $A_2$ l'événement : "deux boules noires sont obtenues".
Calculer les probabilités de $A_0$, $A_1$ et $A_2$. \\ \ding{43} On pourra considérer $N_i$ l'événement désignant le rang de sortie d'une boule noire lors d'un tirage successif sans remise de deux boules.
Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. \\ On effectue à nouveau au hasard, dans cette urne, un second tirage successif sans remise deux boules. On note :
- $B_0$ l'événement : "aucune boule noire n'est obtenue au second tirage".
- $B_1$ l'événement : "une seule boule noire est obtenue au second tirage".
- $B_2$ l'événement : "deux boules noires sont obtenues au second tirage".
Déterminer les probabilités conditionnelles $P_{A_0}(B_0)$, $P_{A_1}(B_0)$ et $P_{A_2}(B_0)$. \\ En déduire la probabilité de $B_0$.
Nous considérons l'événement $R$ : "il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l'urne". Calculer la probabilité de $R$. \\ \ding{43} On exprimera $R$ à l'aide des événements $A_i$ et $B_i$.

Exercice 9681. Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot empereur est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir. \\ On a observé que :

si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est 0,3.
si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est 0,8.

Lors du premier passage, les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis. \\ Pour tout $n \in \N^*$ on désigne par :

$T_n$ l'événement : "le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage".
$\bar{T_n}$ l'événement : "le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage".

Déterminer la probabilité de l'événement $T_2$.
Pour tout $n \in \N^*$, on pose $p_n = P(T_n)$. \\ Montrer que \[ \forall n \in \N^*, p_{n+1} = 0,1p_n + 0,2 \] Proposer un script Python qui restitue les premiers termes de la suite $(p_n)$.
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N^*$ par \[ u_n = p_n-\Frac{2}{9} \] Justifier que $(u_n)$ est géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. \\ En déduire $p_n$ en fonction de $n$. Donner une interprétation probabiliste de la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Exercice 9683.

Soient $A_1$ et $A_2$ deux événements incompatibles. \\ Justifier que si $B$ est un événement quelconque, alors les événements $A_1\cap B$ et $A_2 \cap B$ sont incompatibles.
Montrer que si $B$ est un événement indépendant de $A_1$ et de $A_2$, alors $B$ est indépendant de $A_1 \cup A_2$.
Application. On suppose que dans une famille quelconque, la naissance d'une fille ou d'un garçon est équiprobable. \\ On considère une famille qui a eu un enfant unique. \\ Aucun enfant de cette famille ne peut avoir les yeux vairons. \\ De plus, on sait que la probabilité qu'un enfant de cette ait les yeux bleus est $\Frac{1}{5}$ et la probabilité qu'il ait les yeux marron est $\Frac{3}{5}$. \\ Déterminer la probabilité que l'enfant soit une fille ayant les yeux bleus ou les yeux marron.

Exercice 9682. Un écureuil se déplace sur les arêtes d'un tétraèdre régulier $SABC$. \\ Si notre écureuil se trouve sur un des quatre sommets, alors il se dirige au hasard vers un sommet voisin. Pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, on désigne par

$A_n$ l'événement : "l'écureuil est en $A$ après $n$ déplacements",
$B_n$ l'événement : "l'écureuil est en $B$ après $n$ déplacements",
$C_n$ l'événement : "l'écureuil est en $C$ après $n$ déplacements",
$S_n$ l'événement : "l'écureuil est en $S$ après $n$ déplacements",

Initialement, l'écureuil se trouve en $A$.

Que peut-on dire des événements $A_0$, $B_0$, $C_0$ et $S_0$ ?
Quelle est la probabilité de chacun de ces événements après 2 déplacements ?
Pour tout entier $n \geqslant 1$, nous désignons par $p_n$ la probabilité de $S_n$. \\ Préciser $p_1$ et montrer que \[ p_{n+1} = \Frac{1}{3}(1-p_n) \]
Prouver par récurrence que \[ \forall n \in \N^*, p_n = \Frac{1}{4}\parenthese{1-\parenthese{-\Frac{1}{3}}^n} \] Interpréter la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.