Démontrer des égalités
Exercice
1. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n+1$. \\
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^{n+1}-1$.
Exercice
2. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{2}{3}u_n + \Frac{1}{3}n+1$.\\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2\parenthese{\Frac{2}{3}}^{n}+n$.
Exercice
3. Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_1 = 0,5$ et pour tout $n \geqslant 1$, $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.\\
Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $a_n = 0,6-0,1\times0,6^{n-1}$.
Exercice
4. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = 2$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = 2 - \Frac{1}{u_n}$.\\
Montrer que pour tout $n$ non nul, $u_n = \Frac{n+1}{n}$.
Exercice
5. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \Frac{3u_n}{1+2u_n}$.\\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = \Frac{3^n}{3^n+1}$.
Exercice
6. Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = e^{-1}$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = e^{-1}\parenthese{1+\Frac{1}{n}}u_n$. \\
Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n = \Frac{n}{e^n}$.
Exercice
7. Montrer que pour tout $n \in \N$, $4^n+2$ est divisible par 3.
Exercice
8. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est un multiple de 3.
Exercice
9. Montrer que $\forall n \in \N$, $\;7 \times 3^{5n}+4$ est divisible par 11.
Exercice
10. Montrer que $\forall n \in \N$, 3 divise $5^n-2^n$.
Exercice
11. Montrer que tout entier $n \geqslant 24$ peut s'écrire $n=5a+7b$ avec $(a,b) \in \Z^2$.
Exercice
12. Soit $\un$ définie par $u_1=1$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = \Frac{ u_n}{\sqrt{u_{n}^2 + 1} }$.\\
Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice
13. Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = \frac{1}{3}$ puis pour tout entier $n > 0$, $u_{n+1} = \Frac{n+1}{3n}u_n$. \\
Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice
14. Soit $\un$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}u_n$. \\
Conjecturer une expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer cette conjecture.
Exercice
15. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 \in \R$ et $u_{n+1} = au_n+b$ avec $a$ et $b$ deux réels non nuls tels que $a \neq 1$. \\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = a^n(u_0-\lambda) + \lambda$ avec $\lambda = \Frac{b}{1-a}$.
Exercice
16. Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_0=45$ et, pour tout $n \in \N$, $w_{n+1}=\Frac{1}{2}w_n+5\left(\Frac{1}{2}\right)^n+17$. \\
Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, \[
w_n=10n\left(\Frac{1}{2}\right)^n+11\left(\Frac{1}{2}\right)^n+34.
\]
Exercice
17. Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_1=2$ et, pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1}=2+0{,}8u_n$. \\
Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n=10-8\times 0{,}8^{n-1}$.
Exercice
18. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}=\Frac{1}{2}u_n+\left(\Frac{1}{2}\right)^{n+1}$. \\
Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, $u_n=n\left(\Frac{1}{2}\right)^n$.
Exercice
19. Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = 3$ et pour tout $n \in \N^*$, $u_{n+1} = 0,9u_n+1,3$. \\
Montrer que $\forall n \geqslant 1$, $u_n = 13-\Frac{100}{9}\times 0,9^n$.
Exercice
20. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{1}{2}u_n + n - 1$. \\
trer que pour tout $n \in \N$, $u_n = 7 \parenthese{\Frac{1}{2}}^n+2n-6$.
Exercice
21. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n = 20 + 10 \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et on pose \[ \begin{cases}
w_0 = 45 \\
w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_n + \dfrac{1}{2}u_n + 7
\end{cases} \]
Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : \[
w_n = 10n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 11\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 34
\]
Exercice
22. On pose $u_1 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif : $u_{n+1} = 2 + 0{,}8u_n$. \\
Montrer, par récurrence sur $n$, que $u_n = 10 - 8 \times 0{,}8^{n-1}$
Exercice
23. Soit $\un$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + \dfrac{1}{2} u_n$. \\
Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$