Récurrences

Exercice 660. \\ Soit $x \in \R^*$ tel que $x + \Frac{1}{x}$ soit un entier. \\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $x^n+\Frac{1}{x^n}$ est un entier.

Exercice 661. On s'intéresse à la forme développée de $(2+\sqrt{3})^n$. \\ Montrer qu'il existe deux suites d'entiers naturels $a_n$ et $b_n$ telles que pour tout $n \in \N$, $(2+\sqrt{3})^n = a_n + b_n \sqrt{3}$.

Exercice 662. Soient $c$ un réel et $u$ la suite définie par \[ u_0 = c \; \; et \; \; \forall n \in \N, \; u_{n+1} = \Frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_ku_{n-k} \] Calculer $u_1$ et $u_2$. Quelle conjecture simple en déduit-on sur la valeur de $u_n$ ? La prouver.

Exercice 663. Montrer que pour tout $x \in \R_{+}$, pour tout $n \in \N$, on a \[ e^x \geqslant 1+x+\hdots+\Frac{x^n}{n!} \]

Exercice 664. Montrer que tout naturel $n \geqslant 1$ peut s'écrire sous la forme $n = 2^p(2q+1)$ avec $(p,q) \in \N$.

Exercice 665. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3$, on peut trouver $n$ entiers $x_1,\hdots,x_n$ strictement positifs, deux à deux distincts, tels que $\Frac{1}{x_1}+\hdots+\Frac{1}{x_n} = 1$.

Exercice 666. Soit $f$ une application de $\N^{*}$ dans $\N^{*}$ telle que pour tout $n \in \N^{*}$ on ait \\ \[ f(n+1) > f(f(n)). \] \\ Montrer que pour tout $n \in \N^{*}$ on a $f(n)=n$.